拘束のある系と一般化座標

拘束条件（伸びない糸、斜面に沿う運動、剛体の両端が面に接するなど）を使って自由度を数え、適切な一般化座標を選んで多自由度の系（可動のくさびと小物体など）のラグランジアンを書き、連立したオイラー・ラグランジュ方程式から加速度などを求められる

前提

ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（大学物理解析力学）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）

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算数中学高校大学大学院

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速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）

説明

糸が伸びない、物体が斜面に沿って動く、剛体の両端が床と壁に接している、といった拘束条件がある系では、物体の位置を表す座標のすべてが自由に動けるわけではありません。この技能では、拘束条件から系の自由度（独立に動ける変数の数）を数え、その数だけの一般化座標を選んでラグランジアンを書きます。そして一般化座標ごとのオイラー・ラグランジュ方程式を連立して解き、加速度などを求めます。なめらかな床の上で動くくさびとその斜面をすべる小物体のように、力で解くと垂直抗力を消去する手間がかかる系で特に役立ちます。

なぜそうしてよいのか

平面内を動く $N$ 個の質点の位置は $2 N$ 個の座標で決まりますが、拘束条件が $k$ 個の独立な式で表されると、そのうち自由に選べるのは $f = 2 N - k$ 個です（空間内なら $3 N - k$ 個）。この $f$ が自由度です。そこで、 $f$ 個の変数 $q_{1}, \dots, q_{f}$ を選び、すべての質点の位置が拘束条件を満たしたまま $q_{1}, \dots, q_{f}$ で表せるようにします。これが一般化座標です。 $q$ の値を自由に変えても拘束が破れず、逆に系の配置が $q$ の値で 1 通りに決まるように選ぶのが条件です。

各物体の速度は、位置を時間で微分して一般化座標の速さ $q ˙_{k}$ で表します。動く物体の上を別の物体が動くときは、速度の合成を使い「地面に対する速度 = 土台の速度 + 土台に対する速度」とします。運動エネルギーには必ず地面（慣性系）に対する速度を使います。これで $T$ と $V$ が $q_{k}, q ˙_{k}$ の関数として書け、 $L = T - V$ ができます。

拘束を保つ力（垂直抗力・張力など）は、拘束を守る動きに対しては系全体として仕事をしません（なめらかな面の垂直抗力は面に垂直、くさびと小物体の間の垂直抗力は両者に逆向きに同じ大きさではたらき、相対的には面に沿ってしか動かないので仕事の和は 0）。そのため、1 自由度のときと同様に拘束力はラグランジアンに現れず、各一般化座標 $q_{k}$ について
$\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{k}} - \frac{\partial L}{\partial q _{k}} = 0 (k = 1, \dots, f)$
が成り立ちます。これは、 $q_{k}$ だけを少し変える動きの方向について運動方程式を取り出したものと考えられます。 $f$ 本の方程式を $q ¨_{1}, \dots, q ¨_{f}$ についての連立 1 次方程式として解けば、加速度が求まります。

手順

系の物体と拘束条件を書き出し、自由度 $f = (座標の数) - (独立な拘束条件の数)$ を数える
自由度と同じ数の一般化座標を選ぶ（拘束を自動的に満たし、配置が 1 通りに決まるもの）。正の向きを決める
各物体の地面に対する速度を一般化座標の速さで表し（必要なら速度の合成を使う）、運動エネルギー $T$ を書く。回転があれば $\frac{1}{2} I ω^{2}$ も加える
ポテンシャル $V$ を一般化座標で表し、 $L = T - V$ をつくる
各一般化座標についてオイラー・ラグランジュ方程式を書き、連立して $q ¨_{k}$ を求める

例題

質量 $M$ 、傾斜角 $θ$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ）のくさびが、なめらかな水平な床の上に置かれている。くさびのなめらかな斜面の上に質量 $m$ の小物体を置き、静かにはなしたところ、小物体は斜面をすべり下り、くさびは床の上をすべった。小物体は斜面から離れず、くさびは傾かないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。ラグランジアンを用いて、くさびの加速度の大きさを $M, m, θ, g$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: 運動は鉛直面内です。くさびは床の上を水平に動く（鉛直位置と向きが固定）ので座標は 1 つ、小物体は 2 つの座標をもちますが「斜面上にある」という拘束が 1 つあります。自由度は $1 + 2 - 1 = 2$ です。

手順 2: 一般化座標として、くさびの水平位置 $X$ （斜面が下っていく向きを正）と、斜面に沿って測った小物体の下向きの移動距離 $s$ を選びます。

手順 3: くさびの速度は水平に $X ˙$ 。小物体のくさびに対する速度は、斜面に沿って大きさ $s ˙$ で、水平成分 $s ˙ cos θ$ 、鉛直下向き成分 $s ˙ sin θ$ です。速度の合成より、小物体の地面に対する速度は水平成分 $X ˙ + s ˙ cos θ$ 、鉛直下向き成分 $s ˙ sin θ$ です。よって
$T = \frac{1}{2} M X ˙^{2} + \frac{1}{2} m [(X ˙ + s ˙ cos θ)^{2} + (s ˙ sin θ)^{2}] = \frac{1}{2} (M + m) X ˙^{2} + m X ˙ s ˙ cos θ + \frac{1}{2} m s ˙^{2}$

手順 4: 小物体は $s sin θ$ だけ下がり、くさびの高さは変わらないので $V = - m g s sin θ$ （定数は省く）。
$L = \frac{1}{2} (M + m) X ˙^{2} + m X ˙ s ˙ cos θ + \frac{1}{2} m s ˙^{2} + m g s sin θ$

手順 5: $X$ について： $\frac{\partial L}{\partial X ˙} = (M + m) X ˙ + m s ˙ cos θ$ 、 $\frac{\partial L}{\partial X} = 0$ より
$(M + m) X ¨ + m s ¨ cos θ = 0 \dots (1)$
$s$ について： $\frac{\partial L}{\partial s ˙} = m X ˙ cos θ + m s ˙$ 、 $\frac{\partial L}{\partial s} = m g sin θ$ より
$X ¨ cos θ + s ¨ = g sin θ \dots (2)$
(2) より $s ¨ = g sin θ - X ¨ cos θ$ を (1) に代入すると
$(M + m) X ¨ + m g sin θ cos θ - m X ¨ cos^{2} θ = 0$
$M + m - m cos^{2} θ = M + m sin^{2} θ$ なので
$X ¨ = - \frac{m g sin θ cos θ}{M + m sin ^{2} θ}$
負なので、くさびは小物体がすべり下りる向きとは逆向きに動きます。加速度の大きさは $\frac{m g s i n θ c o s θ}{M + m s i n ^{2} θ}$ です。

答え: $\frac{m g sin θ cos θ}{M + m sin ^{2} θ}$

よくある誤り

動く土台の上の物体の運動エネルギーを、土台に対する速さだけで $\frac{1}{2} m s ˙^{2}$ と書いてしまう誤り。運動エネルギーは地面に対する速度で書くので、正しくは $\frac{1}{2} m [(X ˙ + s ˙ cos θ)^{2} + (s ˙ sin θ)^{2}]$ で、交差項 $m X ˙ s ˙ cos θ$ が現れる
拘束条件を考えずに、小物体の水平座標 $x$ と鉛直座標 $y$ をくさびの $X$ と合わせて 3 つの独立な一般化座標としてしまう誤り。斜面上にいる条件 $y = - (x - X) tan θ$ （基準のとり方による）があるので独立なのは 2 つで、 $x, y, X$ をすべて独立として方程式を立てると拘束力の効果が抜けて誤った運動になる
交差項を含む $L$ から $\frac{\partial L}{\partial X ˙}$ を求めるとき、交差項の寄与を落として $(M + m) X ˙$ だけにしてしまう誤り。正しくは $\frac{\partial L}{\partial X ˙} = (M + m) X ˙ + m s ˙ cos θ$ で、これが落ちると (1) が $X ¨ = 0$ となりくさびが動かないという誤った結論になる
自由度より少ない数の方程式しか立てず、たとえば $s$ の方程式だけからくさびを固定したときの $s ¨ = g sin θ$ を使ってしまう誤り。くさびが動けるときは、一般化座標ごとに方程式を立てて連立し、 $s ¨ = \frac{( M + m ) g s i n θ}{M + m s i n ^{2} θ}$ となる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかな水平な床の上に、傾斜角 $θ = \frac{π}{4}$ のなめらかな斜面をもつ質量 $2 m$ のくさびが置かれている。くさびの斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、静かにはなす。小物体は斜面に沿ってすべり下り、くさびは床の上を水平にすべる（くさびは回転せず、小物体は斜面から離れない）。重力加速度の大きさを $g$ とする。
くさびの水平位置 $X$ と、くさびに対して斜面に沿って下向きに測った小物体の変位 $s$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて、くさびの加速度の大きさ $∣ X ¨ ∣$ を $g$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

一般化座標での平衡点まわりの微小振動（大学物理解析力学）
一般化運動量と循環座標（大学物理解析力学）