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解析力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理解析力学

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ のくさび（三角柱）が置かれている。くさびの斜面は水平面と角 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ をなし、なめらかである。斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、くさびと小物体を同時に静かに放した。くさびは床の上を水平方向にだけ動き、回転や浮き上がりはしない。小物体は斜面から離れずに斜面に沿って滑り下りる。重力加速度の大きさを $g$ とする。

くさびの水平位置 $X$ と、斜面に沿って測った小物体の（くさびに対する）変位 $s$ を一般化座標にとってラグランジアンを書き、運動方程式を導いて、小物体が斜面上を滑っている間のくさびの加速度の大きさを $M, m, g, α$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

拘束のある系と一般化座標（説明と入口の問題）
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（105 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

小物体の速度を「くさびの速度」と「くさびに対する斜面方向の速度」の和として書き、 $X, s$ で運動エネルギーを表す。

ヒント 2

ラグランジアンは $X$ を含まないので、 $X$ の方程式は $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial X ˙} = 0$ 、つまり水平方向の運動量保存の形になる。

ヒント 3

2 つの方程式 $(M + m) X ¨ + m s ¨ cos α = 0$ と $s ¨ + X ¨ cos α = g sin α$ から $s ¨$ を消去する。

答えと解説

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\frac{m g sin α cos α}{M + m sin ^{2} α}

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解説を読む

水平右向きを $x$ 軸正、鉛直上向きを $y$ 軸正とし、斜面は右に向かって下っているとする。くさびの位置を $X$ 、小物体の斜面に沿った（くさびに対する）変位を、斜面を下る向きを正として $s$ とする。

小物体の位置は、くさびに固定した点からの相対位置 $(s cos α, - s sin α)$ にくさびの位置を加えたものなので、速度は
$(X ˙ + s ˙ cos α, - s ˙ sin α)$
となる。よって運動エネルギーは
$T = \frac{1}{2} M X ˙^{2} + \frac{1}{2} m (X ˙^{2} + 2 X ˙ s ˙ cos α + s ˙^{2})$
位置エネルギーは（定数を除いて） $U = - m g s sin α$ 。床と斜面はなめらかで、抗力は拘束面に垂直なので仕事をせず、 $X, s$ を一般化座標にとれば抗力はラグランジアンに現れない。
$L = \frac{1}{2} (M + m) X ˙^{2} + m X ˙ s ˙ cos α + \frac{1}{2} m s ˙^{2} + m g s sin α$

$X$ についてのオイラー・ラグランジュ方程式（ $L$ は $X$ を含まない）:
$(M + m) X ¨ + m s ¨ cos α = 0 (1)$
$s$ についてのオイラー・ラグランジュ方程式:
$m s ¨ + m X ¨ cos α = m g sin α (2)$

$(1)$ より $s ¨ = - \frac{( M + m ) X ¨}{m cos α}$ 。これを $(2)$ に代入すると
$- \frac{( M + m ) X ¨}{cos α} + m X ¨ cos α = m g sin α$
両辺に $cos α$ をかけて
$X ¨ (m cos^{2} α - M - m) = m g sin α cos α$
$m cos^{2} α - M - m = - (M + m sin^{2} α)$ なので
$X ¨ = - \frac{m g sin α cos α}{M + m sin ^{2} α}$
くさびは小物体と反対向き（左向き）に一定の加速度で動き、その大きさは
$\frac{m g sin α cos α}{M + m sin ^{2} α}$

別解

$X$ を水平右向き、斜面は右下がり（小物体は右下へ滑る）とし、小物体の位置を $(X + s cos α, - s sin α)$ とおく。
速度の2乗: $(X ˙ + s ˙ cos α)^{2} + s ˙^{2} sin^{2} α = X ˙^{2} + 2 X ˙ s ˙ cos α + s ˙^{2}$ 。
$T = \frac{1}{2} M X ˙^{2} + \frac{1}{2} m (X ˙^{2} + 2 X ˙ s ˙ cos α + s ˙^{2})$ 、 $V = - m g s sin α$ 。
$L = \frac{1}{2} (M + m) X ˙^{2} + m X ˙ s ˙ cos α + \frac{1}{2} m s ˙^{2} + m g s sin α$ 。
オイラー・ラグランジュ方程式:
$X$ : $(M + m) X ¨ + m s ¨ cos α = 0$
$s$ : $m s ¨ + m X ¨ cos α = m g sin α$
第1式から $s ¨ = - \frac{( M + m ) X ¨}{m cos α}$ 、第2式に代入して
$X ¨ [- \frac{M + m}{cos α} + m cos α] = m g sin α$ 、すなわち $X ¨ = - \frac{m g sin α cos α}{M + m sin ^{2} α}$ 。
くさびは斜面を下る小物体と逆向き（左向き）に加速し、加速度の大きさは $\frac{m g sin α cos α}{M + m sin ^{2} α}$ 。
検算: $M \to \infty$ で 0（くさびは動かない）、 $α \to 0, π /2$ で 0 となり妥当。水平方向の運動量保存 $M X ˙ + m (X ˙ + s ˙ cos α) = 0$ とも整合する。

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