解析力学の問題

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ のくさび（三角柱）が置かれている。くさびの斜面は水平面と角 $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$ をなし、なめらかである。斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、くさびと小物体を同時に静かに放した。くさびは床の上を水平方向にだけ動き、回転や浮き上がりはしない。小物体は斜面から離れずに斜面に沿って滑り下りる。重力加速度の大きさを $g$ とする。

くさびの水平位置 $X$ と、斜面に沿って測った小物体の（くさびに対する）変位 $s$ を一般化座標にとってラグランジアンを書き、運動方程式を導いて、小物体が斜面上を滑っている間のくさびの加速度の大きさを $M,m,g,\alpha$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の一様な細い円形の輪（フープ）がある。輪は、自身の鉛直な直径を通る固定された鉛直軸のまわりに、なめらかに（摩擦なく）自由に回転できる。この軸のまわりの輪の慣性モーメントは $\frac{1}{2}M{R}^2$ である。輪には質量 $m$ の小さな玉（質点とみなす）が通してあり、玉は輪に沿ってなめらかに動く。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

はじめ、玉は輪の中心と同じ高さの位置にあって輪に対して静止しており、輪は角速度 ${\omega }_0(>0)$ で軸のまわりに回転している。この状態から玉は輪に沿ってすべり下り始める。ただし $${\omega }_0^2<\frac{2Mg}{(M+2m)R}$$ とし、このとき玉は途中で引き返すことなく輪の最下点に達する。

玉の位置を表す一般化座標として、輪の中心から玉へ向かう線分が鉛直下向きとなす角 $\theta$ と、輪の回転角 $\phi$ を用いる。玉がはじめて輪の最下点に達した瞬間の、（静止した観測者から見た）玉の速さを $M,m,R,g,{\omega }_0$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある。滑車に軽くて伸び縮みしない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり A を、他端に質量 $m$ のおもり B をつるす。糸は滑車に対して滑らず、おもりは鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。円板の中心軸まわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}M{R}^2$ である。

おもり A の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から、おもり A の加速度の大きさを $m,M,g$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $2m$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある（軸のまわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}(2m)R^2=m{R}^2$）。滑車には軽くて伸びない糸がかけられ、糸の一端に質量 $m$ のおもり A、他端に質量 $3m$ のおもり B がつり下げられている。糸は滑車に対してすべらず、A と B はそれぞれ鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

B の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から B の加速度 $\ddot{x}$ を求めよ。答えは $g$ を用いて表せ。

なめらかな水平な机の面に小さな穴 O があいている。長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸を穴に通し、机の上側の端に質量 $m$ の小物体 P を、下側の端に質量 $M$ のおもり Q をつける。P は机の面上を摩擦なく運動し、Q は穴の真下で鉛直方向にだけ運動する。糸と穴の間に摩擦はなく、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

はじめ、P は O を中心とする一定の角速度 ${\omega }_0(>0)$ の等速円運動をしており、Q は静止している。この状態で P に動径方向（O から P へ向かう方向）の小さな速度を瞬間的に与えたところ、O から P までの距離 $r$ は円運動の半径のまわりで微小振動をした。

P の位置を O を原点とする極座標 $(r,\phi )$ で表し、ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式を用いて、この $r$ の微小振動の角振動数を $m,M,{\omega }_0$ を用いて表せ。