解析力学

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、半径 $R$、中心軸のまわりの慣性モーメント $I=m{R}^2$ の定滑車がある。滑車に質量の無視できる伸びない糸をかけ、糸の両端に質量 $3m$ のおもり A と質量 $m$ のおもり B をつるす。糸は滑車に対してすべらず、おもりは鉛直方向にだけ動くとする。重力加速度の大きさを $g$ とする。

おもり A の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアン $L=T-V$ をつくり、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて、おもり A の下向きの加速度 $\ddot{x}$ を $g$ を用いて表せ。

1 自由度の系の正準変数を $(q,p)$ とし、ポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$$
で定義する。相空間の関数 $f=q^{2}p$, $g=q{p}^2$ について、ポアソン括弧 $\{f,g\}$ を $q$, $p$ を用いて表せ。

なめらかな水平な床の上に、傾斜角 $\theta =\frac{\pi }{4}$ のなめらかな斜面をもつ質量 $2m$ のくさびが置かれている。くさびの斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、静かにはなす。小物体は斜面に沿ってすべり下り、くさびは床の上を水平にすべる（くさびは回転せず、小物体は斜面から離れない）。重力加速度の大きさを $g$ とする。

くさびの水平位置 $X$ と、くさびに対して斜面に沿って下向きに測った小物体の変位 $s$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式を用いて、くさびの加速度の大きさ $|\ddot{X}|$ を $g$ を用いて表せ。

半径 $R$ の円形の針金の輪が、鉛直な直径を軸として一定の角速度 $\Omega$ で回転している。輪には質量 $m$ の小さなビーズが通してあり、ビーズは輪に沿ってなめらかに動く。輪の最下点から測った、輪の中心のまわりのビーズの角度を $\theta$ とすると、ビーズのラグランジアンは
$$L=\frac{1}{2}m{R}^2{\dot{\theta }}^2-V(\theta ),V(\theta )=-mgR\cos \theta -\frac{1}{2}m{R}^2{\Omega }^2{\sin }^2\theta$$
で与えられる（$g$ は重力加速度の大きさ）。${\Omega }^2=\frac{2g}{R}$ のとき、$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ の範囲にあるつり合いの位置のまわりでビーズが微小振動する。その角振動数 $\omega$ を $g$, $R$ を用いて表せ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が、面上の固定点 O にとりつけたばね定数 $k$、自然長 $l$ のばねの他端につながれて運動している。O を原点とする平面極座標 $(r,\phi )$ を一般化座標にとると、ラグランジアンは
$$L=\frac{1}{2}m\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2\right)-\frac{1}{2}k(r-l{)}^2$$
である。時刻 $t=0$ に $r=r_0$, $\dot{\phi }={\omega }_0$ であった。その後、$r=2r_0$ となった瞬間の角速度 $\dot{\phi }$ を ${\omega }_0$ を用いて表せ。

質量 $m$ の質点が $xy$ 平面内を運動している。ポテンシャルは原点からの距離 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ だけで決まる関数 $V(r)$ であり、ラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-V\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$$
である。このラグランジアンは原点のまわりの回転 $x\to x-\epsilon y$, $y\to y+\epsilon x$（$\epsilon$ は微小な実数）で不変である。

時刻 $t=0$ に質点は点 $(a,0)$ にあり、速度は $(0,v_0)$ であった（$a>0$, $v_0>0$）。その後、質点が $y$ 軸上の点 $(0,b)$（$b>0$）を通過した瞬間、速度は $x$ 軸の負の向きを向いていた。ネーターの定理からこの回転対称性に対応する保存量を求め、それを用いて、この瞬間の質点の速さを $a$, $b$, $v_0$ で表せ。

水平面内で、細くまっすぐな棒が一端 O を通る鉛直軸のまわりに一定の角速度 $\omega$（$\omega >0$）で回転している。この棒に質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は棒に沿ってなめらかに（摩擦なく）動く。O から玉までの距離を $r$ とすると、玉のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+r^2{\omega }^2\right)$$
である（重力は鉛直方向にはたらき、玉の運動には寄与しない）。$r$ に共役な一般化運動量を $p$ とするとき、ルジャンドル変換によってハミルトニアン $H$ を $r$, $p$, $m$, $\omega$ で表せ。

1 次元の調和振動子のハミルトニアンが
$$H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2$$
で与えられている（$m>0$, $\omega >0$ は定数）。時刻 $t=0$ で $q(0)=0$, $p(0)=p_0$（$p_0>0$）であるとき、正準方程式を解いて、時刻 $t$（$t\ge 0$）における $q(t)$ を $m$, $\omega$, $p_0$, $t$ で表せ。

一様な重力のもとで鉛直方向に運動する質量 $m$ の質点を考える。鉛直上向きを正として高さを $q$、それに共役な運動量を $p$ とすると、ハミルトニアンは
$$H=\frac{p^2}{2m}+mgq$$
である（$g>0$ は重力加速度の大きさ）。時間をあらわに含む物理量
$$f(q,p,t)=q-\frac{pt}{m}-\alpha t^2$$
（$\alpha$ は定数）が保存量となるように、$\alpha$ を $g$ で表せ。ただし、2 つの物理量 $A$, $B$ のポアソン括弧は $\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}$ と定義する。

直線上を力を受けずに運動する質量 $m$ の自由粒子のハミルトニアンは
$$H=\frac{p^2}{2m}$$
である（$q$ は位置、$p$ はそれに共役な運動量、$m>0$）。ポアソン括弧を $\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$ と定義する。3 つの量 $q^2$, $qp$, $H$ のポアソン括弧が互いに閉じることを用いて $q^2$ の時間変化を表す閉じた微分方程式を導き、時刻 $t=0$ で $q=q_0$, $p=p_0$ であるときの時刻 $t$ における $q^2$ を $q_0$, $p_0$, $m$, $t$ で表せ。

質量 $m$、電荷 $q$（$q>0$）の荷電粒子が、$z$ 軸の正の向きの一様な磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）の中で $xy$ 平面内を運動する。電場はなく（$\varphi =0$）、ベクトルポテンシャルを $\mathbf{A}=(0,Bx,0)$ にとる。粒子のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)+q\left(\dot{x}{A}_x+\dot{y}{A}_y\right)$$
である。時刻 $t=0$ に粒子は原点にあり、速度は $(\dot{x},\dot{y})=(0,v_0)$（$v_0>0$）であった。$y$ に共役な正準運動量 $p_y$ が保存することと、粒子の速さが一定であることを用いて、その後の運動で粒子の $x$ 座標がとる最大値を $m$, $q$, $B$, $v_0$ で表せ。重力は無視する。

なめらかな水平な直線上に、左から順に固定された壁、質量 $m$ の質点 1、質量 $2m$ の質点 2、固定された壁が並んでいる。左の壁と質点 1、質点 1 と質点 2、質点 2 と右の壁は、それぞればね定数 $k$ の軽いばねでつながれている。つり合いの状態では 3 本のばねはいずれも自然長である。質点は直線に沿ってのみ運動し、摩擦と空気抵抗は無視する。

つり合いの位置からの質点 1, 2 の変位を $x_1,x_2$（右向きを正）として、ラグランジュ形式でこの系の基準振動を求める。2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $2m$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある（軸のまわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}(2m)R^2=m{R}^2$）。滑車には軽くて伸びない糸がかけられ、糸の一端に質量 $m$ のおもり A、他端に質量 $3m$ のおもり B がつり下げられている。糸は滑車に対してすべらず、A と B はそれぞれ鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

B の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から B の加速度 $\ddot{x}$ を求めよ。答えは $g$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できる、質量 $M$、半径 $R$ の一様な円板の滑車がある。滑車に軽くて伸び縮みしない糸をかけ、糸の一端に質量 $2m$ のおもり A を、他端に質量 $m$ のおもり B をつるす。糸は滑車に対して滑らず、おもりは鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。円板の中心軸まわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}M{R}^2$ である。

おもり A の鉛直下向きの変位 $x$ を一般化座標としてラグランジアンを書き、オイラー・ラグランジュ方程式から、おもり A の加速度の大きさを $m,M,g$ を用いて表せ。

水平面内で、鉛直な固定軸のまわりを一定の角速度 $\omega (>0)$ で回転する、まっすぐで細い針金がある。針金は固定軸と直交し、固定軸を通る。この針金に通した質量 $m$ の小さな玉が、針金に沿ってなめらかに動く。固定軸から玉までの針金に沿った位置を $r$（$r$ は実数で、負の値もとる）とすると、玉のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+{\omega }^2{r}^2\right)$$
で与えられる。

$r$ に共役な正準運動量を $p_r$、この系のハミルトニアンを $H(r,p_r)$ とする。ポアソン括弧 $\{r{p}_r,H\}$ を $m,\omega ,r,p_r$ を用いて表せ。ただし、ポアソン括弧は
$$\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial r}\frac{\partial B}{\partial p_r}-\frac{\partial A}{\partial p_r}\frac{\partial B}{\partial r}$$
で定義する。

なめらかな水平な台の中央に小さな穴があいている。長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸を穴に通し、台の上側の端に質量 $m$ の小球 P を、台の下側の端に質量 $M$ のおもり Q をつなぐ。P は台の上をなめらかに動き、Q は穴の真下で鉛直方向にだけ動く。穴を原点とする台の上の極座標を $(r,\phi )$ とし、P の位置を表す。糸は常にたるまず、$0<r<l$ の範囲で運動するものとする。

ある時刻に、$r=a$、$\dot{r}=0$、$\dot{\phi }=\Omega$ であった（$a,\Omega$ は正の定数で $a<l$）。この瞬間の $\ddot{r}$ を、$m,M,g,a,\Omega$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗や糸と穴の間の摩擦は無視する。

同じ高さにある 2 つの固定点 O${}_1$, O${}_2$ から、長さ $l$ の軽くて変形しない棒の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子をそれぞれつるす。2 つの振り子は同じ鉛直面内で振れ、支点はなめらかである。2 本の棒のそれぞれの中点（支点から距離 $\frac{l}{2}$ の点）どうしを、ばね定数 $k$ の軽いばねでつなぐ。O${}_1$O${}_2$ 間の距離はばねの自然長に等しく、2 本の棒が鉛直のときばねは水平で自然長である。

棒が鉛直下向きとなす角をそれぞれ ${\theta }_1,{\theta }_2$（同じ向きを正とする）として、つり合いの位置のまわりの微小振動を考える。2 つの基準振動の角振動数のうち、大きいほうを $m,g,l,k$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。微小振動では、ばねの伸びは 2 つの中点の水平方向の変位の差で近似してよい。

1 次元の座標 $x$ で記述される系のラグランジアンが
$$L=\frac{1}{2}m{e}^{2x/a}{\dot{x}}^2$$
で与えられる（$m,a$ は正の定数）。$x$ に共役な正準運動量を $p$、この系のハミルトニアンを $H(x,p)$ とする。

ポアソン括弧 $\{p,H\}$ を $m,a,x,p$ を用いて表せ。ただし、ポアソン括弧は
$$\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial x}$$
で定義する。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の粒子のラグランジアンが、正の定数 $k$ を用いて
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-\frac{k}{2}{\left(2x-y\right)}^2$$
で与えられている。時刻 $t=0$ に粒子は原点にあり、速度は $(\dot{x},\dot{y})=(v_0,0)$（$v_0>0$ は定数）であった。

このラグランジアンの連続的な対称性に対応する保存量（ネーターの定理）とエネルギー保存則を用いて、$t>0$ で粒子が初めて再び直線 $y=2x$ 上に来た瞬間の速度成分 $\dot{x},\dot{y}$ を求め、$(\dot{x},\dot{y})$ の組で答えよ。

なめらかな水平な直線上に、左から順に質量 $m$ の質点 1、質量 $2m$ の質点 2、質量 $m$ の質点 3 が並んでいる。質点 1 と質点 2、質点 2 と質点 3 は、それぞればね定数 $k$ の軽いばねでつながれており、壁などには固定されていない。質点は直線に沿ってだけ動き、摩擦や空気抵抗は無視する。

各質点のつり合いの位置（ばねが自然長の位置）からの変位を $x_1$, $x_2$, $x_3$ とし、ラグランジアンから運動方程式を導いて基準振動を求める。基準振動の角振動数のうち $0$ でないものを、小さい方、大きい方の順に組で、$k$ と $m$ を用いて表せ。

なめらかな水平な台の上に、質量 $m$ の小物体 P が置かれている。台には小さな穴 O があいていて、P につけた軽くて伸び縮みしない糸が O を通って台の下に垂れ下がり、その先に質量 $M$ のおもり Q がつるされている。Q は鉛直方向にだけ動き、糸は常にたるまないものとする。台面上で O を原点とする極座標 $(r,\theta )$ を用いて P の位置を表し、重力加速度の大きさを $g$ とする。糸と穴の間の摩擦、空気抵抗、P と Q の大きさは無視する。

P が O を中心とする半径 $r_0(>0)$ の等速円運動をしているときに、P をわずかに動径方向へ乱した。このとき、角運動量を保ったまま $r$ は $r_0$ のまわりで微小振動する。ラグランジアンを立ててオイラー・ラグランジュ方程式を導き、この微小振動の角振動数を $M,m,g,r_0$ を用いて求めよ。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点のハミルトニアンが、正準座標 $(x,y)$ と共役な正準運動量 $(p_x,p_y)$ を用いて
$$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{k}{2}\left(x^2+4y^2\right)(m>0,k>0)$$
で与えられる（$x$ 方向と $y$ 方向の角振動数の比が $1:2$ の非等方調和振動子）。ポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義する。$\beta ,\gamma$ を定数（$x,y,p_x,p_y,t$ によらない実数）として、相空間上の関数
$$G=x{p}_x{p}_y+\beta y{p}_x^2+\gamma x^{2}y$$
を考える。$G$ が任意の運動について保存量となる（すなわち $\{G,H\}=0$ が相空間のすべての点で成り立つ）ような $\beta ,\gamma$ を、$m,k$ を用いて表し、組 $(\beta ,\gamma )$ の形で答えよ。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ を用いて、3 次元空間内を運動する質量 $m$ の質点を考える。$z$ 軸は鉛直上向きで、$\phi$ は $z$ 軸の正の向きから見て反時計回りを正とする。質点のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2+{\dot{z}}^2\right)-V_0{\left(\frac{r}{a}\right)}^2\left[1-\cos \left(\phi -\frac{z}{b}\right)\right]$$
で与えられる。ここで $V_0,a,b$ は正の定数である。

時刻 $t=0$ に、質点は $r=r_0$ の位置にあり、$\dot{r}=0,\dot{\phi }={\omega }_0,\dot{z}=0$ であった（$r_0,{\omega }_0$ は正の定数）。その後のある時刻に、質点が $r=2r_0$ の位置を通過し、その瞬間の角速度は $\dot{\phi }=\frac{{\omega }_0}{8}$ であった。この瞬間の $\dot{z}$ を、$r_0,{\omega }_0,b$ を用いて求めよ。

質量 $m$、電荷 $q(>0)$ の粒子が $xy$ 平面内を運動する。$z$ 軸正の向きに一様な磁束密度 $B(>0)$ の磁場と、$x$ 軸正の向きに一様な大きさ $E(>0)$ の電場がかかっている。ベクトルポテンシャルを $\mathbf{A}=\left(-\frac{By}{2},\frac{Bx}{2},0\right)$、スカラーポテンシャルを $\varphi =-Ex$ にとると、正準変数 $(x,y,p_x,p_y)$ によるハミルトニアンは
$$H=\frac{1}{2m}\left[{\left(p_x+\frac{qBy}{2}\right)}^2+{\left(p_y-\frac{qBx}{2}\right)}^2\right]-qEx$$
である（SI 単位系、非相対論的に扱い、放射は無視する）。ポアソン括弧は $\{f,g\}=\sum _{i=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$ と定義する。

運動学的運動量を ${\pi }_x=p_x+\frac{qBy}{2}$、${\pi }_y=p_y-\frac{qBx}{2}$ とし、量
$$X=x+\frac{{\pi }_y}{qB},Y=y-\frac{{\pi }_x}{qB}$$
（円運動の中心、すなわち案内中心の座標）を考える。正準方程式（ポアソン括弧による時間発展 $\dot{f}=\{f,H\}$）を用いて、$X$ と $Y$ の時間変化率 $\left(\dot{X},\dot{Y}\right)$ をこの順に組で求め、$E,B$ を用いて表せ。

平面内を運動する質量 $m$ の粒子を、正準座標 $(x,y)$ とそれに共役な正準運動量 $(p_x,p_y)$ で記述する。正の定数 $\omega$ を用いて、相空間上の 2 つの関数
$$K=\frac{p_x^2-p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(x^2-y^2\right),M=\frac{p_x{p}_y}{m}+m{\omega }^{2}xy$$
を定める。関数 $f,g$ のポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義するとき、ポアソン括弧 $\{K,M\}$ を $x,y,p_x,p_y,\omega$ を用いて表せ。

一様な力 $F$（定数、$F\ne 0$）を受けて 1 次元で運動する質量 $m$ の質点のハミルトニアンは、正準座標 $q$ と共役運動量 $p$ を用いて
$$H=\frac{p^2}{2m}-Fq$$
で与えられる。定数 $\alpha$, $\beta$ を用いて、時刻 $t$ をあらわに含む相空間上の関数
$$G(q,p,t)=q-\alpha pt+\beta t^2$$
を考える。ポアソン括弧を $\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$ で定義する。

$G$ が、正準方程式に従う任意の運動に対して時間によらず一定（保存量）となるような定数の組 $(\alpha ,\beta )$ を、$m$, $F$ を用いて表せ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ のくさび（三角柱）が置かれている。くさびの斜面は水平面と角 $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$ をなし、なめらかである。斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、くさびと小物体を同時に静かに放した。くさびは床の上を水平方向にだけ動き、回転や浮き上がりはしない。小物体は斜面から離れずに斜面に沿って滑り下りる。重力加速度の大きさを $g$ とする。

くさびの水平位置 $X$ と、斜面に沿って測った小物体の（くさびに対する）変位 $s$ を一般化座標にとってラグランジアンを書き、運動方程式を導いて、小物体が斜面上を滑っている間のくさびの加速度の大きさを $M,m,g,\alpha$ を用いて表せ。

鉛直面内に固定された、なめらかで細い針金がある。水平右向きに $x$ 軸、鉛直上向きに $y$ 軸をとると、針金の形は
$$y=\frac{x^2}{2a}(a>0\text{は定数})$$
で表される。この針金に通した質量 $m$ の小さな玉を、$x=x_0(x_0>0)$ の位置で静かにはなした。

玉が最下点 $x=0$ を通過する瞬間に、針金が玉に及ぼす力（束縛力）の大きさを、$m,g,a,x_0$ を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。束縛力は、拘束条件 $f(x,y)=y-\frac{x^2}{2a}=0$ とラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を用いた運動方程式から求めること。

なめらかな水平な床の上に、質量 $m$ の台車が置かれている。台車は、左側の固定された壁とばね定数 $k$ の軽いばねでつながれ、ばねの方向（水平な $x$ 方向）にだけ動く。台車には、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子がつるされており、振り子はばねを含む鉛直面内で振れる。ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ である（$g$ は重力加速度の大きさ）。空気抵抗・摩擦は無視し、糸はたるまないものとする。

ばねが自然長で振り子が鉛直に垂れた状態を平衡状態とし、台車の平衡位置からの変位を $x$、振り子の糸が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。平衡状態のまわりの微小振動について、2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を小さい方で割った比を求めよ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $M$ の平らな板が置かれている。板の上には、質量 $m$、半径 $r$ の一様な円柱（中心軸のまわりの慣性モーメントは $\frac{1}{2}m{r}^2$）が、中心軸を水平にして載っている。円柱は板の上を滑らずに転がり、板は床の上を摩擦なく動く。運動はすべて、円柱の中心軸に垂直な 1 つの鉛直面内で起こる。

はじめ全体は静止しており、時刻 $t=0$ から板に、円柱の中心軸に垂直な水平方向の一定の力 $F(F>0)$ を加え続ける。板の床に対する変位 $X$ と、円柱の中心の床に対する変位 $x$（どちらも $F$ の向きを正とする）を一般化座標として、ラグランジュの運動方程式を立てることにより、円柱の中心の床に対する加速度を、$F$, $M$, $m$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の一様な細い円形の輪（フープ）がある。輪は、自身の鉛直な直径を通る固定された鉛直軸のまわりに、なめらかに（摩擦なく）自由に回転できる。この軸のまわりの輪の慣性モーメントは $\frac{1}{2}M{R}^2$ である。輪には質量 $m$ の小さな玉（質点とみなす）が通してあり、玉は輪に沿ってなめらかに動く。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

はじめ、玉は輪の中心と同じ高さの位置にあって輪に対して静止しており、輪は角速度 ${\omega }_0(>0)$ で軸のまわりに回転している。この状態から玉は輪に沿ってすべり下り始める。ただし $${\omega }_0^2<\frac{2Mg}{(M+2m)R}$$ とし、このとき玉は途中で引き返すことなく輪の最下点に達する。

玉の位置を表す一般化座標として、輪の中心から玉へ向かう線分が鉛直下向きとなす角 $\theta$ と、輪の回転角 $\phi$ を用いる。玉がはじめて輪の最下点に達した瞬間の、（静止した観測者から見た）玉の速さを $M,m,R,g,{\omega }_0$ を用いて表せ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できるように、長さ $l$、質量 $8m$ の一様な細い棒の上端 O を固定軸に取り付ける（O のまわりの棒の慣性モーメントは $\frac{1}{3}(8m)l^2=\frac{8}{3}m{l}^2$）。棒の下端 A に、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の一端をつなぎ、糸の他端に質量 $m$ の小球をつける。棒と糸は固定軸に垂直な 1 つの鉛直面内で運動し、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視できる。

鉛直下向きから測った棒の傾き角を $\theta$、糸の傾き角を $\phi$ とする。$\theta =\phi =0$ のつり合いの位置のまわりの微小振動を考えるとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きい方、小さい方の順に組で求めよ。

なめらかな水平な机の面に小さな穴 O があいている。長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸を穴に通し、机の上側の端に質量 $m$ の小物体 P を、下側の端に質量 $M$ のおもり Q をつける。P は机の面上を摩擦なく運動し、Q は穴の真下で鉛直方向にだけ運動する。糸と穴の間に摩擦はなく、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

はじめ、P は O を中心とする一定の角速度 ${\omega }_0(>0)$ の等速円運動をしており、Q は静止している。この状態で P に動径方向（O から P へ向かう方向）の小さな速度を瞬間的に与えたところ、O から P までの距離 $r$ は円運動の半径のまわりで微小振動をした。

P の位置を O を原点とする極座標 $(r,\phi )$ で表し、ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式を用いて、この $r$ の微小振動の角振動数を $m,M,{\omega }_0$ を用いて表せ。

鉛直上向きに $z$ 軸をとり、円柱座標 $(r,\phi ,z)$ を用いる。なめらかな曲面
$$z=\beta r^2(\beta >0\text{は定数})$$
が固定されており、質量 $m$ の小球がこの曲面の内側（上側）の面に沿って、面から離れずに運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、摩擦や空気抵抗は無視する。

この小球は、半径 $r=r_0(r_0>0)$ の水平な円周上を一定の角速度で回る等速円運動ができる。この円運動にわずかな乱れを与えると、$r$ は $r_0$ の近くで微小振動する。この微小振動の角振動数を $g,\beta ,r_0$ を用いて表せ。

質量 $m$ の質点が $xy$ 平面内で 2 次元等方調和振動子のハミルトニアン
$$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(x^2+y^2\right)(m>0,\omega >0)$$
にしたがって運動する。ここで $(x,y,p_x,p_y)$ は正準変数で、ポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義する。$H$ と可換な（$H$ とのポアソン括弧が 0 になる）2 つの量
$$A=\frac{p_x{p}_y}{m}+m{\omega }^{2}xy,B=\frac{p_x^2-p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(x^2-y^2\right)$$
を考える。ポアソン括弧 $\{A,\{A,B\}\}$ を $x,y,p_x,p_y,m,\omega$ を用いて表せ。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点が、ポテンシャル
$$V(x,y)=\frac{\alpha }{x^2+y^2}(\alpha >0)$$
の中を運動する。ラグランジアンは $L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-V(x,y)$ である。

この系の作用 $S=\int Ldt$ は、正の定数 $\lambda$ によるスケール変換
$$x\to \lambda x,y\to \lambda y,t\to {\lambda }^{2}t$$
のもとで不変である。

時刻 $t=0$ に質点は点 $(a,0)$ にあり、速度は $(-u,v)$ であった。ここで $a>0$, $u>0$, $v\ge 0$ は定数である。原点から質点までの距離が最小になる時刻 $t_{\ast }(>0)$ を、$m,\alpha ,a,u,v$ を用いて表せ。

$q>0$ の範囲で 1 次元の運動をする質量 $m$ の質点のハミルトニアンが、正準座標 $q$ と共役な正準運動量 $p$ を用いて
$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2+\frac{\alpha }{q^2}$$
で与えられる。ここで $m$, $\omega$, $\alpha$ は正の定数である。ポアソン括弧を $\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$ と定義する。

時刻 $t=0$ に $q=a(a>0)$, $p=0$ であった。$D=q^2$, $A=qp$ とおき、$D$, $A$, $H$ のあいだのポアソン括弧を用いて $D(t)$ の満たす微分方程式を導くことにより、時刻 $t=\frac{\pi }{6\omega }$ における $q$ の値を、$a$, $m$, $\omega$, $\alpha$ を用いて表せ。

内面がなめらかな半径 $R$ の半球形のお椀が、縁を水平にして固定されている。このお椀の中に、長さ $R$、質量 $m$ の一様な細い棒を入れると、棒の両端はお椀の内面に接したまま、お椀の中心 O（球の中心）を含む 1 つの鉛直面内で運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。また、棒の端がお椀の縁に達することはないとする。

棒は水平な状態でつり合っている。棒の中点と O を結ぶ線分が鉛直下向きとなす角を $\theta$ として、ラグランジアンからオイラー・ラグランジュ方程式を導き、つり合いの位置のまわりの微小振動の角振動数を、$g$ と $R$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の一様で細い円形の輪（フープ）がある。輪の周上の 1 点 O を通り輪の面に垂直な水平の固定軸のまわりに、輪は鉛直面内でなめらかに回転できる。この輪に質量 $m$ の小さな玉 P が通してあり、P は輪に沿ってなめらかに動く。重力加速度の大きさを $g$ とし、玉は大きさの無視できる質点、輪の太さは無視できるものとする。空気抵抗やすべての摩擦は無視する。

輪の中心を C とし、線分 OC が鉛直下向きとなす角を $\theta$、線分 CP が鉛直下向きとなす角を $\varphi$ とする（どちらも同じ回転の向きを正とする）。系は $\theta =\varphi =0$ のつり合いの位置のまわりで、輪の面内で微小振動する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きいほうから順に $({\omega }_1,{\omega }_2)$ の組で、$M,m,R,g$ を用いて求めよ。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$、電荷 $q$ の荷電粒子が、$z$ 軸正の向きの一様な磁束密度 $B$ の磁場と、原点からの距離の 2 乗に比例するポテンシャルの中にある。ベクトルポテンシャルを $\mathbf{A}=(-By,0,0)$ にとると、ラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\right)-qBy\dot{x}-\frac{k}{2}\left(x^2+y^2\right)$$
で与えられる。ここで $m,q,B,k$ はすべて正の定数である。このラグランジアンは原点のまわりの回転に対して厳密には不変ではないが、時間の全微分の差を除いて不変である。

時刻 $t=0$ に粒子は点 $(a,0)$ にあり、速度は $(0,v_0)$ であった（$a>0,v_0>0$）。原点のまわりの回転に対応する保存量をネーターの定理により求め、エネルギー保存則と合わせて用いることで、その後の運動における原点から粒子までの距離の最大値を、$m,q,B,k,a,v_0$ を用いて求めよ。ただし、定数は $k{a}^2<m{v}_0^2+qBa{v}_0$ を満たすものとする。