解析力学の問題

1 次元の座標 $x$ で記述される系のラグランジアンが
$$L=\frac{1}{2}m{e}^{2x/a}{\dot{x}}^2$$
で与えられる（$m,a$ は正の定数）。$x$ に共役な正準運動量を $p$、この系のハミルトニアンを $H(x,p)$ とする。

ポアソン括弧 $\{p,H\}$ を $m,a,x,p$ を用いて表せ。ただし、ポアソン括弧は
$$\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial x}$$
で定義する。

平面内を運動する質量 $m$ の粒子を、正準座標 $(x,y)$ とそれに共役な正準運動量 $(p_x,p_y)$ で記述する。正の定数 $\omega$ を用いて、相空間上の 2 つの関数
$$K=\frac{p_x^2-p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(x^2-y^2\right),M=\frac{p_x{p}_y}{m}+m{\omega }^{2}xy$$
を定める。関数 $f,g$ のポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義するとき、ポアソン括弧 $\{K,M\}$ を $x,y,p_x,p_y,\omega$ を用いて表せ。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点のハミルトニアンが、正準座標 $(x,y)$ と共役な正準運動量 $(p_x,p_y)$ を用いて
$$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{k}{2}\left(x^2+4y^2\right)(m>0,k>0)$$
で与えられる（$x$ 方向と $y$ 方向の角振動数の比が $1:2$ の非等方調和振動子）。ポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義する。$\beta ,\gamma$ を定数（$x,y,p_x,p_y,t$ によらない実数）として、相空間上の関数
$$G=x{p}_x{p}_y+\beta y{p}_x^2+\gamma x^{2}y$$
を考える。$G$ が任意の運動について保存量となる（すなわち $\{G,H\}=0$ が相空間のすべての点で成り立つ）ような $\beta ,\gamma$ を、$m,k$ を用いて表し、組 $(\beta ,\gamma )$ の形で答えよ。

直線上を力を受けずに運動する質量 $m$ の自由粒子のハミルトニアンは
$$H=\frac{p^2}{2m}$$
である（$q$ は位置、$p$ はそれに共役な運動量、$m>0$）。ポアソン括弧を $\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$ と定義する。3 つの量 $q^2$, $qp$, $H$ のポアソン括弧が互いに閉じることを用いて $q^2$ の時間変化を表す閉じた微分方程式を導き、時刻 $t=0$ で $q=q_0$, $p=p_0$ であるときの時刻 $t$ における $q^2$ を $q_0$, $p_0$, $m$, $t$ で表せ。

水平面内で、鉛直な固定軸のまわりを一定の角速度 $\omega (>0)$ で回転する、まっすぐで細い針金がある。針金は固定軸と直交し、固定軸を通る。この針金に通した質量 $m$ の小さな玉が、針金に沿ってなめらかに動く。固定軸から玉までの針金に沿った位置を $r$（$r$ は実数で、負の値もとる）とすると、玉のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+{\omega }^2{r}^2\right)$$
で与えられる。

$r$ に共役な正準運動量を $p_r$、この系のハミルトニアンを $H(r,p_r)$ とする。ポアソン括弧 $\{r{p}_r,H\}$ を $m,\omega ,r,p_r$ を用いて表せ。ただし、ポアソン括弧は
$$\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial r}\frac{\partial B}{\partial p_r}-\frac{\partial A}{\partial p_r}\frac{\partial B}{\partial r}$$
で定義する。