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解析力学の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理解析力学

$x y$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点のハミルトニアンが、正準座標 $(x, y)$ と共役な正準運動量 $(p_{x}, p_{y})$ を用いて
$H = \frac{p _{x}^{2} + p _{y}^{2}}{2 m} + \frac{k}{2} (x^{2} + 4 y^{2}) (m > 0, k > 0)$
で与えられる（ $x$ 方向と $y$ 方向の角振動数の比が $1 : 2$ の非等方調和振動子）。ポアソン括弧を
${f, g} = q = x, y \sum (\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p _{q}} - \frac{\partial f}{\partial p _{q}} \frac{\partial g}{\partial q})$
で定義する。 $β, γ$ を定数（ $x, y, p_{x}, p_{y}, t$ によらない実数）として、相空間上の関数
$G = x p_{x} p_{y} + β y p_{x}^{2} + γ x^{2} y$
を考える。 $G$ が任意の運動について保存量となる（すなわち ${G, H} = 0$ が相空間のすべての点で成り立つ）ような $β, γ$ を、 $m, k$ を用いて表し、組 $(β, γ)$ の形で答えよ。

この問題で使うもの

ポアソン括弧の計算（説明と入口の問題）
ポアソン括弧による時間発展と保存量（説明と入口の問題）
偏微分と全微分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（129 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$G$ は時刻をあらわに含まないので $\frac{d G}{d t} = {G, H}$ です。この括弧が恒等的に $0$ になる条件を考えましょう。

ヒント 2

ポアソン括弧の線形性を使い、 ${x p_{x} p_{y}, H}$ 、 ${y p_{x}^{2}, H}$ 、 ${x^{2} y, H}$ を別々に計算します。 $\partial H / \partial x = k x$ 、 $\partial H / \partial y = 4 k y$ 、 $\partial H / \partial p_{x} = p_{x} / m$ 、 $\partial H / \partial p_{y} = p_{y} / m$ です。

ヒント 3

${G, H}$ を整理すると $p_{x}^{2} p_{y}, x^{2} p_{y}, x y p_{x}$ の 3 種類の項だけが現れます。例えば $p_{x}^{2} p_{y}$ の係数は $(1 + β) / m$ です。残りの係数も求めて、すべて $0$ とおきましょう。

答えと解説

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(- 1, mk)

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解説を読む

$G$ は時刻 $t$ をあらわに含まないので、正準方程式より
$\frac{d G}{d t} = {G, H}$
が成り立つ。よって ${G, H} = 0$ が恒等的に成り立つ条件を求めればよい。

ハミルトニアンの偏微分は
$\frac{\partial H}{\partial x} = k x, \frac{\partial H}{\partial y} = 4 k y, \frac{\partial H}{\partial p _{x}} = \frac{p _{x}}{m}, \frac{\partial H}{\partial p _{y}} = \frac{p _{y}}{m}$
である。 $G$ の各項について計算する。

$(1)$ $G_{1} = x p_{x} p_{y}$ ： $\frac{\partial G _{1}}{\partial x} = p_{x} p_{y}, \frac{\partial G _{1}}{\partial y} = 0, \frac{\partial G _{1}}{\partial p _{x}} = x p_{y}, \frac{\partial G _{1}}{\partial p _{y}} = x p_{x}$ より
${G_{1}, H} = p_{x} p_{y} \cdot \frac{p _{x}}{m} - x p_{y} \cdot k x - x p_{x} \cdot 4 k y = \frac{p _{x}^{2} p _{y}}{m} - k x^{2} p_{y} - 4 k x y p_{x} .$

$(2)$ $G_{2} = y p_{x}^{2}$ ： $\frac{\partial G _{2}}{\partial y} = p_{x}^{2}, \frac{\partial G _{2}}{\partial p _{x}} = 2 y p_{x}$ （他は $0$ ）より
${G_{2}, H} = p_{x}^{2} \cdot \frac{p _{y}}{m} - 2 y p_{x} \cdot k x = \frac{p _{x}^{2} p _{y}}{m} - 2 k x y p_{x} .$

$(3)$ $G_{3} = x^{2} y$ ： $\frac{\partial G _{3}}{\partial x} = 2 x y, \frac{\partial G _{3}}{\partial y} = x^{2}$ （運動量による微分は $0$ ）より
${G_{3}, H} = 2 x y \cdot \frac{p _{x}}{m} + x^{2} \cdot \frac{p _{y}}{m} .$

ポアソン括弧は線形なので
${G, H} = {G_{1}, H} + β {G_{2}, H} + γ {G_{3}, H}$
$= (1 + β) \frac{p _{x}^{2} p _{y}}{m} + (- k + \frac{γ}{m}) x^{2} p_{y} + (- 4 k - 2 k β + \frac{2 γ}{m}) x y p_{x} .$
これが相空間のすべての点で $0$ となるには、単項式 $p_{x}^{2} p_{y}, x^{2} p_{y}, x y p_{x}$ の係数がすべて $0$ でなければならない。
$1 + β = 0, - k + \frac{γ}{m} = 0, - 4 k - 2 k β + \frac{2 γ}{m} = 0.$
第 1 式から $β = - 1$ 、第 2 式から $γ = mk$ 。このとき第 3 式は $- 4 k + 2 k + 2 k = 0$ となり成り立つ。

したがって $G = x p_{x} p_{y} - y p_{x}^{2} + mk x^{2} y$ が保存量であり、
$(β, γ) = (- 1, mk) .$

別解

${G, H} = \sum_{q} (\frac{\partial G}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p _{q}} - \frac{\partial G}{\partial p _{q}} \frac{\partial H}{\partial q})$ を計算する。

$H$ の偏微分は $\partial H / \partial x = k x$ 、 $\partial H / \partial y = 4 k y$ 、 $\partial H / \partial p_{x} = p_{x} / m$ 、 $\partial H / \partial p_{y} = p_{y} / m$ 。

$G$ の偏微分は
$\partial G / \partial x = p_{x} p_{y} + 2 γ x y$ 、
$\partial G / \partial y = β p_{x}^{2} + γ x^{2}$ 、
$\partial G / \partial p_{x} = x p_{y} + 2 β y p_{x}$ 、
$\partial G / \partial p_{y} = x p_{x}$ 。

よって
${G, H} = \frac{( p _{x} p _{y} + 2 γ x y ) p _{x}}{m} + \frac{( β p _{x}^{2} + γ x ^{2} ) p _{y}}{m} - k x (x p_{y} + 2 β y p_{x}) - 4 k x y p_{x}$

項ごとに整理すると
$= \frac{1 + β}{m} p_{x}^{2} p_{y} + (\frac{γ}{m} - k) x^{2} p_{y} + (\frac{2 γ}{m} - 2 β k - 4 k) x y p_{x}$ 。

これが恒等的に 0 になる条件は
- $p_{x}^{2} p_{y}$ の係数： $1 + β = 0$ より $β = - 1$
- $x^{2} p_{y}$ の係数： $γ / m - k = 0$ より $γ = mk$
- $x y p_{x}$ の係数： $2 k + 2 k - 4 k = 0$ で、上の 2 つの値のもとで自動的に成り立つ（検算）。

したがって $(β, γ) = (- 1, mk)$ 。

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