ポアソン括弧による時間発展と保存量

$\frac{df}{d t} = {f, H} + \frac{\partial f}{\partial t}$ を使って物理量の時間変化率を求め、 $H$ との括弧が 0 になる量（時間をあらわに含む量では $\partial_{t} f$ との和が 0 になる量）が保存量であることを判定し、保存量となるように定数を決められる

前提

ポアソン括弧の計算（大学物理解析力学）
正準方程式（大学物理解析力学）

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算数中学高校大学大学院

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正準方程式（大学物理解析力学）

説明

相空間の関数 $f (q, p, t)$ が運動に沿ってどれだけの速さで変化するかは、正準方程式を解かなくても $\frac{df}{d t} = {f, H} + \frac{\partial f}{\partial t}$ で計算できます。この右辺が恒等的に 0 になれば $f$ は保存量です。運動を実際に解く前に「何が保存されるか」を調べたり、保存量になるように式の中の定数を決めたりするときに使います。

なぜそうしてよいのか

運動に沿って $q_{i} = q_{i} (t)$ , $p_{i} = p_{i} (t)$ が変化するとき、 $f (q (t), p (t), t)$ の時間微分は多変数の連鎖律により
$\frac{df}{d t} = i \sum (\frac{\partial f}{\partial q _{i}} q ˙_{i} + \frac{\partial f}{\partial p _{i}} p ˙_{i}) + \frac{\partial f}{\partial t}$
です。ここに正準方程式 $q ˙_{i} = \frac{\partial H}{\partial p _{i}}$ , $p ˙_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q _{i}}$ を代入すると、和の部分は
$i \sum (\frac{\partial f}{\partial q _{i}} \frac{\partial H}{\partial p _{i}} - \frac{\partial f}{\partial p _{i}} \frac{\partial H}{\partial q _{i}}) = {f, H}$
とちょうどポアソン括弧の定義になります。したがって $\frac{df}{d t} = {f, H} + \frac{\partial f}{\partial t}$ が成り立ちます。

${f, H}$ は「 $q, p$ が動くことによる変化」、 $\frac{\partial f}{\partial t}$ は「 $f$ の式に $t$ があらわに入っていることによる変化」です。 $f$ が保存量であるとは、どんな初期条件から出発しても運動に沿って $\frac{df}{d t} = 0$ となることなので、右辺が $q, p, t$ の関数として恒等的に 0 になることが条件です。特に $f$ が $t$ をあらわに含まなければ、条件は ${f, H} = 0$ だけになります。 $f = H$ とすると反対称性から ${H, H} = 0$ なので、 $H$ が $t$ をあらわに含まなければ $H$ 自身が保存されることもすぐわかります。

手順

調べたい量 $f (q, p, t)$ とハミルトニアン $H (q, p, t)$ を正準変数で書く
ポアソン括弧 ${f, H} = \sum_{i} (\frac{\partial f}{\partial q _{i}} \frac{\partial H}{\partial p _{i}} - \frac{\partial f}{\partial p _{i}} \frac{\partial H}{\partial q _{i}})$ を計算する（基本括弧やライプニッツ則で簡単にしてよい）
$f$ が $t$ をあらわに含むなら $\frac{\partial f}{\partial t}$ （ $q, p$ を固定した偏微分）を計算する。含まなければ 0
和をとって $\frac{df}{d t} = {f, H} + \frac{\partial f}{\partial t}$ を求める
保存量かどうかを判定するときは、この結果が $q, p, t$ のすべての値で 0 になるかを調べる。定数を決めるときは、各項（ $q, p, t$ の各べきの係数）が 0 になるように定数を選ぶ

例題

一定の力 $F$ を受けて 1 次元を運動する質量 $m$ の粒子のハミルトニアンを $H = \frac{p ^{2}}{2 m} - F q$ とする。 $a$ を定数として $f = q - \frac{pt}{m} + a t^{2}$ が保存量となるような $a$ を求めよ。

例題の解答

手順 1： $f = q - \frac{pt}{m} + a t^{2}$ 、 $H = \frac{p ^{2}}{2 m} - F q$ 。

手順 2： $\frac{\partial f}{\partial q} = 1$ , $\frac{\partial f}{\partial p} = - \frac{t}{m}$ , $\frac{\partial H}{\partial q} = - F$ , $\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$ なので
${f, H} = 1 \cdot \frac{p}{m} - (- \frac{t}{m}) (- F) = \frac{p}{m} - \frac{F t}{m}$

手順 3： $q, p$ を固定して $t$ で偏微分すると $\frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{p}{m} + 2 a t$ 。

手順 4： $\frac{df}{d t} = \frac{p}{m} - \frac{F t}{m} - \frac{p}{m} + 2 a t = (2 a - \frac{F}{m}) t$ 。

手順 5：これがすべての $t$ で 0 になるには $2 a - \frac{F}{m} = 0$ 、よって $a = \frac{F}{2 m}$ 。

（意味： $f = q - \frac{pt}{m} + \frac{F}{2 m} t^{2}$ は、等加速度運動 $q = q_{0} + \frac{p _{0}}{m} t + \frac{F}{2 m} t^{2}$ , $p = p_{0} + F t$ を代入すると $q_{0}$ に等しく、初期位置を表す保存量になっている。）

答え: $\frac{F}{2 m}$

よくある誤り

$t$ をあらわに含む量で $\frac{\partial f}{\partial t}$ を足し忘れ、 ${f, H} = 0$ だけで判定してしまう誤り。例題で ${f, H} = \frac{p}{m} - \frac{F t}{m}$ を 0 にしようとしても $a$ が決まらない。正しくは $\frac{df}{d t} = {f, H} + \frac{\partial f}{\partial t} = (2 a - \frac{F}{m}) t$ を 0 にする。
括弧の順序を逆にして $\frac{df}{d t} = {H, f} + \frac{\partial f}{\partial t}$ としてしまう誤り。反対称性 ${H, f} = - {f, H}$ より符号が逆になる。 $H = \frac{p ^{2}}{2 m}$ , $f = q$ なら正しくは $q ˙ = {q, H} = \frac{p}{m}$ で、 ${H, q} = - \frac{p}{m}$ ではない。
$\frac{\partial f}{\partial t}$ を計算するときに $q, p$ も $t$ の関数として微分してしまう誤り。 $f = - \frac{pt}{m}$ なら正しくは $\frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{p}{m}$ で、 $- \frac{p ˙ t + p}{m}$ ではない（ $p$ が動く分は ${f, H}$ に含まれている）。
特定の時刻や特定の初期条件でだけ $\frac{df}{d t} = 0$ になることを確かめて保存量と判断してしまう誤り。例題の $(2 a - \frac{F}{m}) t$ は $t = 0$ では任意の $a$ で 0 になるが、保存量であるにはすべての $t$ （およびすべての $q, p$ ）で 0 でなければならず、 $a = \frac{F}{2 m}$ に限られる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
一様な重力のもとで鉛直方向に運動する質量 $m$ の質点を考える。鉛直上向きを正として高さを $q$ 、それに共役な運動量を $p$ とすると、ハミルトニアンは
$H = \frac{p ^{2}}{2 m} + m g q$
である（ $g > 0$ は重力加速度の大きさ）。時間をあらわに含む物理量
$f (q, p, t) = q - \frac{pt}{m} - α t^{2}$
（ $α$ は定数）が保存量となるように、 $α$ を $g$ で表せ。ただし、2 つの物理量 $A$ , $B$ のポアソン括弧は ${A, B} = \frac{\partial A}{\partial q} \frac{\partial B}{\partial p} - \frac{\partial A}{\partial p} \frac{\partial B}{\partial q}$ と定義する。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ポアソン括弧の代数と保存量の生成（大学物理解析力学）
電磁場中の荷電粒子のラグランジアンとハミルトニアン（大学物理解析力学）