ポアソン括弧の代数と保存量の生成

ヤコビ恒等式（ポアソンの定理：2 つの保存量の括弧も保存量）や、いくつかの量の括弧が互いに閉じること（例: $q^{2}$ , $q p$ , $H$ ）を使って、入れ子の括弧 ${A, {A, B}}$ を計算したり、閉じた微分方程式を導いて $q^{2} (t)$ などの時間変化を求められる

前提

ポアソン括弧による時間発展と保存量（大学物理解析力学）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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正準方程式（大学物理解析力学）
ポアソン括弧による時間発展と保存量（大学物理解析力学）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
定数係数 2 階線形（非斉次）（大学数学微分方程式）

説明

ポアソン括弧には、反対称性・線形性・ライプニッツ則に加えて、3 つの量の入れ子の括弧についての関係（ヤコビ恒等式）があります。これを使うと、2 つの保存量から括弧をとって新しい保存量を作ったり（ポアソンの定理）、入れ子の括弧を楽に計算したりできます。また、 $q^{2}$ , $q p$ , $H$ のように括弧をとっても互いの組み合わせに戻ってくる量の組を見つけると、 $q^{2} (t)$ などが満たす閉じた微分方程式が得られ、 $q (t)$ そのものを経由せずに時間変化を求められます。

なぜそうしてよいのか

ヤコビ恒等式：任意の相空間の関数 $f, g, h$ について
${f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0$
が成り立ちます。定義どおりに展開すると、各項は「1 つの関数の 2 階偏微分 × 他の 2 つの 1 階偏微分」の形の項の和になり、3 項を足すと同じ 2 階偏微分を含む項が符号違いで 2 回ずつ現れて打ち消し合う、という直接計算で確かめられます。反対称性を使うと、 ${f, {g, h}} = {{f, g}, h} + {g, {f, h}}$ （括弧 ${f, \cdot}$ が積の微分のように各成分に分配される形）とも書けます。

ポアソンの定理： $f, g$ が $t$ をあらわに含まない保存量、つまり ${f, H} = {g, H} = 0$ とします。ヤコビ恒等式で $h = H$ とおくと ${H, {f, g}} = - {f, {g, H}} - {g, {H, f}} = 0$ なので、 $\frac{d}{d t} {f, g} = {{f, g}, H} = 0$ 。2 つの保存量の括弧もまた保存量です（ただし定数や、既知の保存量の関数になって新しい情報を生まないこともあります）。

閉じた組と時間発展： $\frac{df}{d t} = {f, H}$ を繰り返すと $\frac{d ^{2} f}{d t ^{2}} = {{f, H}, H}$ です。たとえば調和振動子 $H = \frac{p ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} q^{2}$ では ${q^{2}, H} = \frac{2 q p}{m}$ , ${q p, H} = \frac{p ^{2}}{m} - m ω^{2} q^{2} = 2 H - 2 m ω^{2} q^{2}$ となり、括弧をとっても $q^{2}$ , $q p$ , $H$ の 1 次結合に戻ってきます。 $H$ は保存されて定数 $E$ なので、 $x = q^{2}$ について $x ¨ = \frac{4 E}{m} - 4 ω^{2} x$ という定数係数 2 階線形（非斉次）の方程式が閉じて得られ、これを解けば $q^{2} (t)$ がわかります。

手順

必要な括弧を求める：保存量の生成なら ${f, g}$ 、時間発展なら ${f, H}$ を計算する。入れ子 ${A, {A, B}}$ は内側から計算するか、ヤコビ恒等式 ${f, {g, h}} = {{f, g}, h} + {g, {f, h}}$ で既知の括弧に分解する
結果を、調べている量の組（例： $q^{2}$ , $q p$ , $H$ ）の 1 次結合で書き直し、組が括弧について閉じていることを確かめる
時間発展では、 $f ˙ = {f, H}$ をもう一度使って $f ¨ = {{f, H}, H}$ を作り、保存される $H$ を定数 $E$ とおいて $f$ だけの微分方程式にする
得られた定数係数 2 階線形方程式を、斉次の一般解＋特殊解の形で解く
初期値 $f (0)$ と $f ˙ (0) = {f, H}_{t = 0}$ 、および $E$ を初期条件から計算し、定数を決める

例題

質量 $m$ 、角振動数 $ω$ の調和振動子 $H = \frac{p ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} q^{2}$ が、初期条件 $q (0) = 0$ , $p (0) = p_{0}$ で運動する。 $q^{2}$ , $q p$ , $H$ のポアソン括弧を用いて $x = q^{2}$ が満たす微分方程式を導き、 $q^{2} (t)$ を $m, ω, p_{0}, t$ で表せ。

例題の解答

手順 1： ${q^{2}, H} = \frac{\partial ( q ^{2} )}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} = 2 q \cdot \frac{p}{m} = \frac{2 q p}{m}$ 。また ${q p, H} = p \cdot \frac{p}{m} - q \cdot m ω^{2} q = \frac{p ^{2}}{m} - m ω^{2} q^{2}$ 。

手順 2： $\frac{p ^{2}}{m} = 2 H - m ω^{2} q^{2}$ より ${q p, H} = 2 H - 2 m ω^{2} q^{2}$ 。括弧の結果が $q^{2}$ , $q p$ , $H$ の 1 次結合になり、組が閉じている。

手順 3： $x ˙ = {q^{2}, H} = \frac{2}{m} q p$ 、 $x ¨ = \frac{2}{m} {q p, H} = \frac{4 H}{m} - 4 ω^{2} x$ 。 $H$ は $t$ をあらわに含まないので ${H, H} = 0$ より保存され、 $H = E = \frac{p _{0}^{2}}{2 m}$ （ $t = 0$ での値）。よって
$x ¨ + 4 ω^{2} x = \frac{2 p _{0}^{2}}{m ^{2}}$

手順 4：斉次解は $C_{1} cos 2 ω t + C_{2} sin 2 ω t$ 、定数の特殊解は $x = \frac{2 p _{0}^{2}}{m ^{2}} \cdot \frac{1}{4 ω ^{2}} = \frac{p _{0}^{2}}{2 m ^{2} ω ^{2}}$ 。

手順 5： $x (0) = q (0)^{2} = 0$ より $C_{1} = - \frac{p _{0}^{2}}{2 m ^{2} ω ^{2}}$ 。 $x ˙ (0) = \frac{2}{m} q (0) p (0) = 0$ より $2 ω C_{2} = 0$ 、 $C_{2} = 0$ 。したがって
$q^{2} (t) = \frac{p _{0}^{2}}{2 m ^{2} ω ^{2}} (1 - cos 2 ω t)$
（ $= \frac{p _{0}^{2}}{m ^{2} ω ^{2}} sin^{2} ω t$ で、 $q = \frac{p _{0}}{mω} sin ω t$ の 2 乗と一致する。）

答え: $\frac{p _{0}^{2}}{2 m ^{2} ω ^{2}} (1 - cos 2 ω t)$

よくある誤り

ヤコビ恒等式を結合法則のように ${f, {g, h}} = {{f, g}, h}$ としてしまう誤り。一般には成り立たず、正しくは ${f, {g, h}} = {{f, g}, h} + {g, {f, h}}$ 。たとえば $f = q$ , $g = p$ , $h = q p$ では ${q, {p, q p}} = {q, - p} = - 1$ だが ${{q, p}, q p} = {1, q p} = 0$ で、差の $- 1$ は ${p, {q, q p}} = {p, q} = - 1$ が埋めている。
閉じた方程式で $H$ を変数のまま扱い、 $x ¨ + 4 ω^{2} x = 0$ のように定数項 $\frac{4 E}{m}$ を落としてしまう誤り。 $H$ は保存量なので初期条件から決まる定数 $E$ に置き換え、正しくは非斉次の $x ¨ + 4 ω^{2} x = \frac{4 E}{m}$ を解いて特殊解 $\frac{E}{m ω ^{2}}$ を加える。
$x ˙ (0)$ を初期の速度 $q ˙ (0)$ と取り違える誤り。 $x = q^{2}$ なら正しくは $x ˙ (0) = {q^{2}, H}_{t = 0} = \frac{2 q ( 0 ) p ( 0 )}{m}$ で、例題では $q (0) = 0$ だから $x ˙ (0) = 0$ （ $q ˙ (0) = \frac{p _{0}}{m}$ ではない）。
ポアソンの定理で作った ${f, g}$ が必ず新しい独立な保存量になると考えてしまう誤り。たとえば自由粒子 $H = \frac{p ^{2}}{2 m}$ の保存量 $p$ と $q - \frac{pt}{m}$ の括弧は ${q - \frac{pt}{m}, p} = 1$ で定数にすぎない。括弧の結果が定数や既知の保存量の関数でないかを必ず確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
直線上を力を受けずに運動する質量 $m$ の自由粒子のハミルトニアンは
$H = \frac{p ^{2}}{2 m}$
である（ $q$ は位置、 $p$ はそれに共役な運動量、 $m > 0$ ）。ポアソン括弧を ${f, g} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p} - \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}$ と定義する。3 つの量 $q^{2}$ , $q p$ , $H$ のポアソン括弧が互いに閉じることを用いて $q^{2}$ の時間変化を表す閉じた微分方程式を導き、時刻 $t = 0$ で $q = q_{0}$ , $p = p_{0}$ であるときの時刻 $t$ における $q^{2}$ を $q_{0}$ , $p_{0}$ , $m$ , $t$ で表せ。

ポアソン括弧の代数と保存量の生成

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題