正準方程式

ハミルトニアンから正準方程式 $q ˙_{i} = \frac{\partial H}{\partial p _{i}}$ , $p ˙_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q _{i}}$ を書き、それを解いて $q (t)$ , $p (t)$ や指定した時刻での値を求められる

前提

ルジャンドル変換とハミルトニアン（大学物理解析力学）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）

説明

ハミルトニアン $H (q, p, t)$ が書けたら、運動を決める方程式は $H$ を偏微分するだけで得られます。それが正準方程式 $q ˙_{i} = \frac{\partial H}{\partial p _{i}}$ , $p ˙_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q _{i}}$ です。オイラー・ラグランジュ方程式（2 階の方程式が自由度の数だけ）を、1 階の方程式が 2 倍の数だけある形に書き直したもので、これを解けば $q (t)$ , $p (t)$ や、ある時刻での値が求められます。

なぜそうしてよいのか

ハミルトニアンは $H = \sum_{i} p_{i} q ˙_{i} - L (q, q ˙, t)$ で、 $q ˙_{i}$ を $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}$ を使って $(q, p, t)$ で書き直したものでした。この $H$ の全微分を、 $q ˙$ を消去する前の形で計算してみます。
$d H = i \sum (q ˙_{i} d p_{i} + p_{i} d q ˙_{i} - \frac{\partial L}{\partial q _{i}} d q_{i} - \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}} d q ˙_{i}) - \frac{\partial L}{\partial t} d t$
$p_{i} = \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}$ なので $d q ˙_{i}$ の項は打ち消し合って消えます。これがルジャンドル変換の要点で、 $H$ は $q ˙$ の変化に（1 次では）依存しません。さらにオイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}} = \frac{\partial L}{\partial q _{i}}$ は $p ˙_{i} = \frac{\partial L}{\partial q _{i}}$ と書けるので、実際の運動に沿っては
$d H = i \sum (q ˙_{i} d p_{i} - p ˙_{i} d q_{i}) - \frac{\partial L}{\partial t} d t$
となります。一方 $H$ を $(q, p, t)$ の関数とみた全微分は $d H = \sum_{i} (\frac{\partial H}{\partial q _{i}} d q_{i} + \frac{\partial H}{\partial p _{i}} d p_{i}) + \frac{\partial H}{\partial t} d t$ です。 $d q_{i}, d p_{i}$ の係数を比べると $q ˙_{i} = \frac{\partial H}{\partial p _{i}}$ , $p ˙_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q _{i}}$ （あわせて $\frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t}$ ）が得られます。

直観的には、1 つ目の式は「運動量の定義 $p = \partial L / \partial q ˙$ を逆に解いて速度を表したもの」、2 つ目は「運動方程式（力 $=$ 運動量の変化率）」にあたります。たとえば $H = \frac{p ^{2}}{2 m} + V (q)$ なら $q ˙ = p / m$ , $p ˙ = - V^{'} (q)$ となり、よく知っている $p = m q ˙$ とニュートンの運動方程式がそのまま出てきます。

手順

ハミルトニアン $H (q, p, t)$ を正準変数 $(q, p)$ だけで書く（ $q ˙$ が残っていないことを確認する）
各 $i$ について $q ˙_{i} = \frac{\partial H}{\partial p _{i}}$ を計算する（ $q$ や他の $p$ は定数とみて $p_{i}$ で偏微分する）
各 $i$ について $p ˙_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q _{i}}$ を計算する（マイナス符号を忘れない）
得られた 1 階の連立微分方程式を解く。片方を微分してもう片方を代入し、 $q ¨ = \dots$ の 2 階の式にしてから解くことが多い
初期条件 $q (0)$ , $p (0)$ から積分定数を決め、必要なら指定された時刻を代入する

例題

質量 $m$ 、角振動数 $ω$ の 1 次元調和振動子のハミルトニアン $H = \frac{p ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} q^{2}$ について、初期条件 $q (0) = 0$ , $p (0) = p_{0}$ のもとで正準方程式を解き、時刻 $t$ での $q (t)$ を $m, ω, p_{0}, t$ で表せ。

例題の解答

手順 1： $H = \frac{p ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} q^{2}$ はすでに $(q, p)$ だけで書かれている。

手順 2： $q ˙ = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$ 。

手順 3： $p ˙ = - \frac{\partial H}{\partial q} = - m ω^{2} q$ 。

手順 4：1 つ目の式を時間で微分して 2 つ目を代入すると $q ¨ = \frac{p ˙}{m} = - ω^{2} q$ 、すなわち $q ¨ + ω^{2} q = 0$ 。特性方程式 $λ^{2} + ω^{2} = 0$ の解は $λ = \pm iω$ なので、一般解は $q (t) = A cos ω t + B sin ω t$ 。このとき $p (t) = m q ˙ = mω (- A sin ω t + B cos ω t)$ 。

手順 5： $q (0) = A = 0$ 、 $p (0) = mω B = p_{0}$ より $B = \frac{p _{0}}{mω}$ 。よって
$q (t) = \frac{p _{0}}{mω} sin ω t, p (t) = p_{0} cos ω t$
（確かめ： $q ˙ = \frac{p _{0}}{m} cos ω t = \frac{p}{m}$ , $p ˙ = - p_{0} ω sin ω t = - m ω^{2} q$ で両方の式を満たす。）

答え: $\frac{p _{0}}{mω} sin ω t$

よくある誤り

$p ˙_{i} = - \frac{\partial H}{\partial q _{i}}$ のマイナスを落とし、調和振動子で $p ˙ = + m ω^{2} q$ としてしまう誤り。これでは $q ¨ = + ω^{2} q$ となり指数関数的に発散する解になる。正しくは $p ˙ = - m ω^{2} q$ で、 $q ¨ = - ω^{2} q$ 。
$H$ に $q ˙$ が残ったまま偏微分してしまう誤り。たとえば $H = \frac{1}{2} m q ˙^{2} + V (q)$ を $p$ で偏微分して $0$ としてはいけない。正しくは $q ˙ = p / m$ で消去して $H = \frac{p ^{2}}{2 m} + V (q)$ にしてから $\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$ 。
$q ˙$ と $p ˙$ の式を取り違え、 $q ˙ = - \frac{\partial H}{\partial q}$ , $p ˙ = \frac{\partial H}{\partial p}$ としてしまう誤り。 $H = \frac{p ^{2}}{2 m} + \dots$ なら $\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}$ が速度になることから、「 $p$ で偏微分すると $q ˙$ 」と覚えるとよい。
初期条件を $q (0)$ と $q ˙ (0)$ の組だと思い込み、 $p (0)$ をそのまま速度として使ってしまう誤り。例題で $q ˙ (0) = p_{0}$ として $q = \frac{p _{0}}{ω} sin ω t$ とするのは誤りで、正しくは $q ˙ (0) = \frac{\partial H}{\partial p}_{t = 0} = \frac{p _{0}}{m}$ から $q = \frac{p _{0}}{mω} sin ω t$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
1 次元の調和振動子のハミルトニアンが
$H (q, p) = \frac{p ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} q^{2}$
で与えられている（ $m > 0$ , $ω > 0$ は定数）。時刻 $t = 0$ で $q (0) = 0$ , $p (0) = p_{0}$ （ $p_{0} > 0$ ）であるとき、正準方程式を解いて、時刻 $t$ （ $t \geq 0$ ）における $q (t)$ を $m$ , $ω$ , $p_{0}$ , $t$ で表せ。

この技能の次に学べること

ポアソン括弧による時間発展と保存量（大学物理解析力学）