一般化運動量と循環座標

一般化運動量 $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}$ を計算し、ラグランジアンに現れない座標（循環座標）に共役な運動量が保存されることを使って、運動の途中の速度や角速度を求められる

前提

拘束のある系と一般化座標（大学物理解析力学）

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算数中学高校大学大学院

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拘束のある系と一般化座標（大学物理解析力学）

説明

ラグランジアン $L$ を一般化座標の速さ $q ˙_{i}$ で偏微分した量 $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}$ を、 $q_{i}$ に共役な一般化運動量といいます。 $L$ にある座標 $q_{i}$ そのものが現れない（ $q ˙_{i}$ は現れてもよい）とき、その座標を循環座標といい、共役な運動量 $p_{i}$ は運動の間ずっと一定に保たれます。この保存則を使うと、運動方程式を解かなくても、はじめの状態から途中の速度や角速度を求められます。自由に回転できる台の上を物体が動く系や、中心力のもとでの運動などで役立ちます。

なぜそうしてよいのか

オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}} - \frac{\partial L}{\partial q _{i}} = 0$ は、一般化運動量を使うと
$\frac{d p _{i}}{d t} = \frac{\partial L}{\partial q _{i}}$
と書けます。 $L$ が $q_{i}$ を含まなければ右辺は $0$ なので $\frac{d p _{i}}{d t} = 0$ 、すなわち $p_{i}$ は一定です。式としてはこれだけですが、意味は「系をその座標の方向にずらしても $L$ が変わらない（その方向に系を動かそうとする力がはたらかない）なら、その方向の運動量は変わらない」ということです。

一般化運動量はなじみのある量の拡張です。直交座標で $L = \frac{1}{2} m x ˙^{2} - V$ なら $p_{x} = m x ˙$ で、ふつうの運動量です。平面の極座標で $L = \frac{1}{2} m (r ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2}) - V (r)$ なら $p_{φ} = m r^{2} φ ˙$ で、原点のまわりの角運動量です。 $V$ が $φ$ によらない（中心力）とき $φ$ は循環座標なので、角運動量保存が自動的に出てきます。ただし $p_{i}$ は「質量 × 速さ」とは限らず、ほかの物体の速さを含む交差項などがあれば、それも $p_{i}$ に入ります。

循環座標が見つかるかどうかは、座標の選び方によります。回転対称な系なら角度を、ある方向に平行移動しても変わらない系ならその方向の位置を一般化座標に選ぶと、その座標が $L$ から消えて保存量が見えるようになります。

手順

一般化座標を選び（対称性に合う角度や位置を選ぶ）、 $T$ と $V$ を書いて $L = T - V$ をつくる
$L$ に現れない座標（循環座標） $q_{i}$ を見つける。 $q ˙_{i}$ は現れていてもよい
その座標に共役な一般化運動量 $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}$ を計算する
$p_{i}$ の値が、はじめの状態と求めたい状態とで等しいという式を立てる
その式を解いて、求めたい速度や角速度を求める

例題

鉛直な固定軸のまわりになめらかに回転できる水平な細い棒がある。軸のまわりの棒の慣性モーメントは $I$ である。棒に通した質量 $m$ の小さな玉が、棒に沿ってなめらかに動ける。はじめ玉は軸から距離 $r_{0}$ の位置にあり、棒と玉は角速度 $ω_{0}$ で一緒に回転していた。その後、玉が棒に沿って動いて軸から距離 $r_{1}$ の位置に来たときの、棒の角速度を $I, m, r_{0}, r_{1}, ω_{0}$ で求めよ。玉は質点とみなし、重力は棒からの力とつり合っていて運動に関係しない。

例題の解答

手順 1: 一般化座標として、棒の回転角 $φ$ と、軸から玉までの距離 $r$ を選びます。玉は平面の極座標で $(r, φ)$ の位置にあるので、玉の速さの 2 乗は $r ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2}$ です。
$L = \frac{1}{2} I φ ˙^{2} + \frac{1}{2} m (r ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2})$
（棒は水平で玉の高さも変わらないので、 $V$ は定数として省きます。）

手順 2: $L$ には $φ$ が現れないので、 $φ$ は循環座標です。

手順 3:
$p_{φ} = \frac{\partial L}{\partial φ ˙} = (I + m r^{2}) φ ˙$
これは棒と玉を合わせた、軸のまわりの角運動量です。

手順 4: $p_{φ}$ は一定なので、はじめ（ $r = r_{0}$ , $φ ˙ = ω_{0}$ ）と後（ $r = r_{1}$ , $φ ˙ = ω_{1}$ ）で
$(I + m r_{0}^{2}) ω_{0} = (I + m r_{1}^{2}) ω_{1}$

手順 5:
$ω_{1} = \frac{( I + m r _{0}^{2} ) ω _{0}}{I + m r _{1}^{2}}$
玉が外側に移る（ $r_{1} > r_{0}$ ）と角速度は小さくなります。

答え: $\frac{( I + m r _{0}^{2} ) ω _{0}}{I + m r _{1}^{2}}$

よくある誤り

循環座標の速さ $q ˙_{i}$ そのものが一定だと考えてしまう誤り。例題で $φ ˙ = ω_{0}$ のまま変わらないとするのは誤りで、保存されるのは $p_{φ} = (I + m r^{2}) φ ˙$ であり、 $r$ が変われば $φ ˙$ も変わる
一般化運動量をいつも「質量 × 速さ」の形で $p_{φ} = m φ ˙$ や $p_{φ} = I φ ˙$ と書いてしまう誤り。定義どおり $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial q ˙ _{i}}$ を計算すると、 $φ ˙$ を含むすべての項が寄与し、例題では $p_{φ} = I φ ˙ + m r^{2} φ ˙$ となる
$q ˙_{i}$ が $L$ に現れないことを循環座標の条件と取り違えたり、 $q_{i}$ が $V$ の中に現れているのに保存するとしてしまう誤り。たとえば単振り子 $L = \frac{1}{2} m l^{2} θ ˙^{2} + m g l cos θ$ では $θ$ が $L$ に現れるので $p_{θ} = m l^{2} θ ˙$ は保存しない（ $\frac{d p _{θ}}{d t} = - m g l sin θ$ ）
循環座標のない座標を選んでしまい、保存量に気づかない誤り。例題を直交座標 $(x, y)$ で書くと $L$ に $x, y$ が現れて循環座標がない。回転対称な系では角度 $φ$ を一般化座標に選ぶと $φ$ が $L$ から消え、 $p_{φ}$ の保存が使える

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
なめらかな水平面上で、質量 $m$ の小物体が、面上の固定点 O にとりつけたばね定数 $k$ 、自然長 $l$ のばねの他端につながれて運動している。O を原点とする平面極座標 $(r, φ)$ を一般化座標にとると、ラグランジアンは
$L = \frac{1}{2} m (r ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2}) - \frac{1}{2} k (r - l)^{2}$
である。時刻 $t = 0$ に $r = r_{0}$ , $φ ˙ = ω_{0}$ であった。その後、 $r = 2 r_{0}$ となった瞬間の角速度 $φ ˙$ を $ω_{0}$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ネーターの定理と保存量（大学物理解析力学）
ルジャンドル変換とハミルトニアン（大学物理解析力学）