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解析力学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理解析力学

鉛直上向きに $z$ 軸をとり、円柱座標 $(r, φ, z)$ を用いる。なめらかな曲面
$z = β r^{2} (β > 0 は定数)$
が固定されており、質量 $m$ の小球がこの曲面の内側（上側）の面に沿って、面から離れずに運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、摩擦や空気抵抗は無視する。

この小球は、半径 $r = r_{0} (r_{0} > 0)$ の水平な円周上を一定の角速度で回る等速円運動ができる。この円運動にわずかな乱れを与えると、 $r$ は $r_{0}$ の近くで微小振動する。この微小振動の角振動数を $g, β, r_{0}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

拘束のある系と一般化座標（説明と入口の問題）
一般化運動量と循環座標（説明と入口の問題）
一般化座標での平衡点まわりの微小振動（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（125 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

拘束 $z = β r^{2}$ を使って $z$ を消去し、一般化座標 $(r, φ)$ でラグランジアンを書いてみよう。

ヒント 2

$φ$ は循環座標なので $m r^{2} φ ˙$ が保存する。これを使って $r$ だけの運動方程式にし、円運動の条件から $Ω^{2} = 2 g β$ を得よう。

ヒント 3

$r$ の運動方程式は $(1 + 4 β^{2} r^{2}) r ¨ + 4 β^{2} r r ˙^{2} - \frac{h ^{2}}{r ^{3}} + 2 g β r = 0$ （ $h = r^{2} φ ˙$ ）。 $r = r_{0} + ξ$ として $ξ$ の 1 次まで展開すると、復元力の係数は $3 Ω^{2} + 2 g β$ になる。

答えと解説

答えを見る

2 \frac{2 g β}{1 + 4 β ^{2} r _{0}^{2}}

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解説を読む

一般化座標とラグランジアン

拘束条件 $z = β r^{2}$ により、自由度は 2 で、一般化座標として $(r, φ)$ がとれる。 $z ˙ = 2 β r r ˙$ より、運動エネルギーは
$T = \frac{m}{2} (r ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2} + z ˙^{2}) = \frac{m}{2} [(1 + 4 β^{2} r^{2}) r ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2}]$
位置エネルギーは $U = m g z = m g β r^{2}$ である。面はなめらかなので垂直抗力は仕事をせず（理想的な拘束）、ラグランジアン
$L = \frac{m}{2} [(1 + 4 β^{2} r^{2}) r ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2}] - m g β r^{2}$
からラグランジュの運動方程式が得られる。

$φ$ の方程式（保存量）

$L$ は $φ$ を含まない（循環座標）ので、共役運動量
$p_{φ} = \frac{\partial L}{\partial φ ˙} = m r^{2} φ ˙ = mh (h は定数)$
が保存する（ $z$ 軸まわりの角運動量の保存）。よって $φ ˙ = h / r^{2}$ 。

$r$ の方程式

$\frac{\partial L}{\partial r ˙} = m (1 + 4 β^{2} r^{2}) r ˙, \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial r ˙} = m (1 + 4 β^{2} r^{2}) r ¨ + 8 m β^{2} r r ˙^{2}$
$\frac{\partial L}{\partial r} = 4 m β^{2} r r ˙^{2} + m r φ ˙^{2} - 2 m g β r$
より
$(1 + 4 β^{2} r^{2}) r ¨ + 4 β^{2} r r ˙^{2} - \frac{h ^{2}}{r ^{3}} + 2 g β r = 0 (1)$

等速円運動の条件

$r = r_{0}$ （ $r ˙ = r ¨ = 0$ ）とすると $(1)$ より $\frac{h ^{2}}{r _{0}^{3}} = 2 g β r_{0}$ 。円運動の角速度を $Ω = h / r_{0}^{2}$ とすると
$Ω^{2} = 2 g β (2)$
（ $r_{0}$ によらない）。

線形化

$r = r_{0} + ξ$ （ $ξ$ は微小）とおき、 $(1)$ を $ξ$ の 1 次まで残す。 $r ˙^{2} = ξ ˙^{2}$ は 2 次の微小量なので落とせる。また
$- \frac{h ^{2}}{r ^{3}} + 2 g β r \approx (- \frac{h ^{2}}{r _{0}^{3}} + 2 g β r_{0}) + (\frac{3 h ^{2}}{r _{0}^{4}} + 2 g β) ξ = (3 Ω^{2} + 2 g β) ξ$
で、 $(2)$ より $3 Ω^{2} + 2 g β = 8 g β$ 。よって
$(1 + 4 β^{2} r_{0}^{2}) ξ ¨ + 8 g β ξ = 0$
これは単振動の方程式なので、角振動数は
$ω = \frac{8 g β}{1 + 4 β ^{2} r _{0}^{2}} = 2 \frac{2 g β}{1 + 4 β ^{2} r _{0}^{2}}$
（乱れによって $h$ がわずかに変わっても、それは平衡半径をわずかにずらすだけで、角振動数の 1 次の値は変わらない。）

別解

ラグランジアンは $L = \frac{m}{2} [(1 + 4 β^{2} r^{2}) r ˙^{2} + r^{2} φ ˙^{2}] - m g β r^{2}$ です（ $z ˙ = 2 β r r ˙$ を用いた）。

$φ$ は循環座標なので、角運動量 $l = m r^{2} φ ˙$ が保存します。有効ポテンシャルは $U_{eff} (r) = \frac{l ^{2}}{2 m r ^{2}} + m g β r^{2}$ です。

釣り合い（等速円運動）の条件 $U_{eff}^{'} (r_{0}) = 0$ より、 $- \frac{l ^{2}}{m r _{0}^{3}} + 2 m g β r_{0} = 0$ となり、 $l^{2} = 2 m^{2} g β r_{0}^{4}$ を得ます。このとき円運動の角速度は $φ ˙^{2} = 2 g β$ です。

二階微分は $U_{eff}^{''} (r_{0}) = \frac{3 l ^{2}}{m r _{0}^{4}} + 2 m g β = 6 m g β + 2 m g β = 8 m g β$ です。

$r$ 方向の運動エネルギーの有効質量は $M = m (1 + 4 β^{2} r_{0}^{2})$ です。したがって微小振動の角振動数は
$ω^{2} = \frac{U _{eff}^{''}}{M} = \frac{8 g β}{1 + 4 β ^{2} r _{0}^{2}}$
となります。

検算として $r_{0} \to 0$ の極限では $ω = 8 g β = 2 2 g β$ となり、円運動の角速度 $2 g β$ のちょうど 2 倍です。これは等方調和振動子での動径振動の結果と一致します。

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