解析力学の問題

質量 $M$、半径 $R$ の一様で細い円形の輪（フープ）がある。輪の周上の 1 点 O を通り輪の面に垂直な水平の固定軸のまわりに、輪は鉛直面内でなめらかに回転できる。この輪に質量 $m$ の小さな玉 P が通してあり、P は輪に沿ってなめらかに動く。重力加速度の大きさを $g$ とし、玉は大きさの無視できる質点、輪の太さは無視できるものとする。空気抵抗やすべての摩擦は無視する。

輪の中心を C とし、線分 OC が鉛直下向きとなす角を $\theta$、線分 CP が鉛直下向きとなす角を $\varphi$ とする（どちらも同じ回転の向きを正とする）。系は $\theta =\varphi =0$ のつり合いの位置のまわりで、輪の面内で微小振動する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きいほうから順に $({\omega }_1,{\omega }_2)$ の組で、$M,m,R,g$ を用いて求めよ。

水平な固定軸のまわりになめらかに回転できるように、長さ $l$、質量 $8m$ の一様な細い棒の上端 O を固定軸に取り付ける（O のまわりの棒の慣性モーメントは $\frac{1}{3}(8m)l^2=\frac{8}{3}m{l}^2$）。棒の下端 A に、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の一端をつなぎ、糸の他端に質量 $m$ の小球をつける。棒と糸は固定軸に垂直な 1 つの鉛直面内で運動し、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小球の大きさは無視できる。

鉛直下向きから測った棒の傾き角を $\theta$、糸の傾き角を $\phi$ とする。$\theta =\phi =0$ のつり合いの位置のまわりの微小振動を考えるとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を、大きい方、小さい方の順に組で求めよ。

なめらかな水平な机の面に小さな穴 O があいている。長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸を穴に通し、机の上側の端に質量 $m$ の小物体 P を、下側の端に質量 $M$ のおもり Q をつける。P は机の面上を摩擦なく運動し、Q は穴の真下で鉛直方向にだけ運動する。糸と穴の間に摩擦はなく、糸は常にたるまないものとする。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

はじめ、P は O を中心とする一定の角速度 ${\omega }_0(>0)$ の等速円運動をしており、Q は静止している。この状態で P に動径方向（O から P へ向かう方向）の小さな速度を瞬間的に与えたところ、O から P までの距離 $r$ は円運動の半径のまわりで微小振動をした。

P の位置を O を原点とする極座標 $(r,\phi )$ で表し、ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式を用いて、この $r$ の微小振動の角振動数を $m,M,{\omega }_0$ を用いて表せ。

鉛直上向きに $z$ 軸をとり、円柱座標 $(r,\phi ,z)$ を用いる。なめらかな曲面
$$z=\beta r^2(\beta >0\text{は定数})$$
が固定されており、質量 $m$ の小球がこの曲面の内側（上側）の面に沿って、面から離れずに運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、摩擦や空気抵抗は無視する。

この小球は、半径 $r=r_0(r_0>0)$ の水平な円周上を一定の角速度で回る等速円運動ができる。この円運動にわずかな乱れを与えると、$r$ は $r_0$ の近くで微小振動する。この微小振動の角振動数を $g,\beta ,r_0$ を用いて表せ。

なめらかな水平な床の上に、質量 $m$ の台車が置かれている。台車は、左側の固定された壁とばね定数 $k$ の軽いばねでつながれ、ばねの方向（水平な $x$ 方向）にだけ動く。台車には、長さ $l$ の軽くて伸び縮みしない糸の先に質量 $m$ の小球をつけた振り子がつるされており、振り子はばねを含む鉛直面内で振れる。ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ である（$g$ は重力加速度の大きさ）。空気抵抗・摩擦は無視し、糸はたるまないものとする。

ばねが自然長で振り子が鉛直に垂れた状態を平衡状態とし、台車の平衡位置からの変位を $x$、振り子の糸が鉛直下向きとなす角を $\theta$ とする。平衡状態のまわりの微小振動について、2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を小さい方で割った比を求めよ。