一般化座標での平衡点まわりの微小振動

1 自由度の系で $L = \frac{1}{2} a (q) q ˙^{2} - V (q)$ の形を書き、 $V^{'} (q_{0}) = 0$ からつり合いの位置を求め、 $V$ を 2 次まで展開して微小振動の角振動数 $ω = V^{''} (q_{0}) / a (q_{0})$ を求められる（多自由度の基準振動は振動・波動の単元の技能を使う）

前提

拘束のある系と一般化座標（大学物理解析力学）
テイラー展開（大学数学微分積分）
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）

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算数中学高校大学大学院

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単振動の変位・速度・加速度（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
単振動の変位・速度・加速度の式（高校物理円運動・単振動・万有引力）

説明

1 自由度の系のつり合いの位置をラグランジアンから求め、そのまわりで少しだけずらしたときの振動（微小振動）の角振動数を求める方法を学びます。ラグランジアンを $L = \frac{1}{2} a (q) q ˙^{2} - V (q)$ の形に書けば、つり合いの位置は $V^{'} (q_{0}) = 0$ から、微小振動の角振動数は $ω = \frac{V ^{''} ( q _{0} )}{a ( q _{0} )}$ から求まります。振り子・ばねと糸を組み合わせた装置・曲がった針金に通した玉など、運動方程式が非線形で厳密には解けない系でも、つり合いの近くの運動を単振動として扱えます。 $V^{''} (q_{0})$ の符号から、そのつり合いが安定か不安定かもわかります。

なぜそうしてよいのか

$L = \frac{1}{2} a (q) q ˙^{2} - V (q)$ （ $a (q) > 0$ ）をオイラー・ラグランジュ方程式に入れると、 $\frac{d}{d t} (a q ˙) = a q ¨ + a^{'} (q) q ˙^{2}$ 、 $\frac{\partial L}{\partial q} = \frac{1}{2} a^{'} (q) q ˙^{2} - V^{'} (q)$ より
$a (q) q ¨ + \frac{1}{2} a^{'} (q) q ˙^{2} + V^{'} (q) = 0$
です。ずっと $q = q_{0}$ に静止していられる（ $q ˙ = q ¨ = 0$ が解になる）ための条件は $V^{'} (q_{0}) = 0$ で、これがつり合いの位置です。

次に $q = q_{0} + η$ とおき、 $η$ と $η ˙$ が小さいとして、方程式を $η, η ˙, η ¨$ について 1 次の項まで残します。テイラー展開より $V^{'} (q_{0} + η) = V^{'} (q_{0}) + V^{''} (q_{0}) η + (η^{2} 以上の項) = V^{''} (q_{0}) η + \dots$ です。 $a (q) q ¨ = a (q_{0}) η ¨ + (η η ¨ の程度の項)$ で、 $\frac{1}{2} a^{'} q ˙^{2}$ は $η ˙^{2}$ に比例する 2 次の小さな量です。2 次以上の小さな量を捨てると
$a (q_{0}) η ¨ = - V^{''} (q_{0}) η$
となります。これは $V (q) \approx V (q_{0}) + \frac{1}{2} V^{''} (q_{0}) η^{2}$ （ $V^{'} (q_{0}) = 0$ なので 1 次の項はない）と $a (q) \approx a (q_{0})$ に置きかえた、ばね定数 $V^{''} (q_{0})$ ・質量 $a (q_{0})$ のばね振り子のラグランジアン $\frac{1}{2} a (q_{0}) η ˙^{2} - \frac{1}{2} V^{''} (q_{0}) η^{2}$ から出る式と同じです。

$V^{''} (q_{0}) > 0$ （ $V$ が $q_{0}$ で極小）なら、これは $η ¨ = - ω^{2} η$ の形の単振動の式で、角振動数は $ω = \frac{V ^{''} ( q _{0} )}{a ( q _{0} )}$ 、周期は $\frac{2 π}{ω}$ です。 $V^{''} (q_{0}) < 0$ （極大）なら、ずれが復元されずに大きくなるので不安定なつり合いで、振動は起こりません（ $V^{''} (q_{0}) = 0$ のときは 2 次までの展開では判定できません）。

手順

一般化座標 $q$ を選び、 $T$ と $V$ を書いて $L = \frac{1}{2} a (q) q ˙^{2} - V (q)$ の形に整理し、 $a (q)$ と $V (q)$ を読み取る
$V^{'} (q) = 0$ を解いて、つり合いの位置 $q_{0}$ をすべて求める
各 $q_{0}$ で $V^{''} (q_{0})$ を計算し、正なら安定（微小振動する）、負なら不安定と判定する
安定なつり合いについて $ω = \frac{V ^{''} ( q _{0} )}{a ( q _{0} )}$ を計算する（周期が必要なら $T = \frac{2 π}{ω}$ ）

例題

なめらかな水平な棒に通した質量 $m$ の小球が、棒に沿って動ける。棒から距離 $d$ だけ離れた点 $O$ にばね（ばね定数 $k$ 、自然の長さ $l_{0}$ 、 $l_{0} > d > 0$ ）の一端を固定し、他端を小球につなぐ。点 $O$ から棒に下ろした垂線の足を原点として、棒に沿った小球の位置を $x$ とする。小球は棒に沿ってのみ動き、ばねの質量は無視でき、小球にはたらく重力は棒からの垂直抗力とつり合っていて運動に関係しない。 $x > 0$ の側にあるつり合いの位置のまわりの、小球の微小振動の角振動数を $m, k, l_{0}, d$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: 一般化座標は $x$ です。 $T = \frac{1}{2} m x ˙^{2}$ 、ばねの長さは $r = x^{2} + d^{2}$ なので
$L = \frac{1}{2} m x ˙^{2} - \frac{1}{2} k (x^{2} + d^{2} - l_{0})^{2}$
よって $a = m$ 、 $V (x) = \frac{1}{2} k (r - l_{0})^{2}$ です。

手順 2: $\frac{d r}{d x} = \frac{x}{r}$ を使うと
$V^{'} (x) = k (r - l_{0}) \frac{x}{r} = k (1 - \frac{l _{0}}{r}) x$
$V^{'} = 0$ となるのは $x = 0$ または $r = l_{0}$ 、すなわち $x = 0, \pm l_{0}^{2} - d^{2}$ です。 $x > 0$ の側のつり合いの位置は $x_{0} = l_{0}^{2} - d^{2}$ （ばねが自然の長さになる位置）です。

手順 3: もう一度微分すると、 $\frac{d}{d x} (- \frac{l _{0}}{r}) = \frac{l _{0} x}{r ^{3}}$ より
$V^{''} (x) = k (1 - \frac{l _{0}}{r}) + \frac{k l _{0} x ^{2}}{r ^{3}}$
$x_{0}$ では $r = l_{0}$ なので $V^{''} (x_{0}) = \frac{k x _{0}^{2}}{l _{0}^{2}} = \frac{k ( l _{0}^{2} - d ^{2} )}{l _{0}^{2}} > 0$ で、安定です。（参考： $x = 0$ では $r = d$ で $V^{''} (0) = k (1 - \frac{l _{0}}{d}) < 0$ なので不安定です。）

手順 4:
$ω = \frac{V ^{''} ( x _{0} )}{a} = \frac{k ( l _{0}^{2} - d ^{2} )}{m l _{0}^{2}}$

答え: $\frac{k ( l _{0}^{2} - d ^{2} )}{m l _{0}^{2}}$

よくある誤り

$V^{''}$ を $q_{0}$ で評価せずに $V$ や $V^{'}$ の値を使ったり、一般の $q$ のままの $V^{''} (q)$ を答えにしてしまう誤り。正しくは、まず $V^{'} (q_{0}) = 0$ から $q_{0}$ を決め、その点での値 $V^{''} (q_{0})$ と $a (q_{0})$ を使う（例題では $V^{''} (x_{0}) = \frac{k ( l _{0}^{2} - d ^{2} )}{l _{0}^{2}}$ ）
$a (q)$ を無視して $ω = V^{''} (q_{0})$ としたり、つねに質量 $m$ で割ってしまう誤り。一般化座標が角度などのときは $a$ は質量ではない。たとえば長さ $l$ の単振り子では $L = \frac{1}{2} m l^{2} θ ˙^{2} + m g l cos θ$ で $a = m l^{2}$ 、 $V^{''} (0) = m g l$ なので $ω = \frac{m g l}{m l ^{2}} = \frac{g}{l}$
$V^{'} (q_{0}) = 0$ を満たす点をすべて安定なつり合いとして、角振動数を求めてしまう誤り。 $V^{''} (q_{0}) < 0$ の点は不安定で振動しない。例題の $x = 0$ では $V^{''} (0) = k (1 - \frac{l _{0}}{d}) < 0$ なので、の中が負になり角振動数は存在しない
$a (q)$ が $q$ によるとき、 $a^{'} (q) q ˙^{2}$ の項を残したり $a (q)$ を展開した 1 次の項まで残したりして、方程式が線形にならないと考えてしまう誤り。これらは $η ˙^{2}$ や $η η ¨$ に比例する 2 次の小さな量なので、微小振動では捨ててよく、 $a (q_{0}) η ¨ = - V^{''} (q_{0}) η$ となる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
半径 $R$ の円形の針金の輪が、鉛直な直径を軸として一定の角速度 $Ω$ で回転している。輪には質量 $m$ の小さなビーズが通してあり、ビーズは輪に沿ってなめらかに動く。輪の最下点から測った、輪の中心のまわりのビーズの角度を $θ$ とすると、ビーズのラグランジアンは
$L = \frac{1}{2} m R^{2} θ ˙^{2} - V (θ), V (θ) = - m g R cos θ - \frac{1}{2} m R^{2} Ω^{2} sin^{2} θ$
で与えられる（ $g$ は重力加速度の大きさ）。 $Ω^{2} = \frac{2 g}{R}$ のとき、 $0 < θ < \frac{π}{2}$ の範囲にあるつり合いの位置のまわりでビーズが微小振動する。その角振動数 $ω$ を $g$ , $R$ を用いて表せ。

一般化座標での平衡点まわりの微小振動

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題