解析力学の問題

直線上を力を受けずに運動する質量 $m$ の自由粒子のハミルトニアンは
$$H=\frac{p^2}{2m}$$
である（$q$ は位置、$p$ はそれに共役な運動量、$m>0$）。ポアソン括弧を $\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$ と定義する。3 つの量 $q^2$, $qp$, $H$ のポアソン括弧が互いに閉じることを用いて $q^2$ の時間変化を表す閉じた微分方程式を導き、時刻 $t=0$ で $q=q_0$, $p=p_0$ であるときの時刻 $t$ における $q^2$ を $q_0$, $p_0$, $m$, $t$ で表せ。

$q>0$ の範囲で 1 次元の運動をする質量 $m$ の質点のハミルトニアンが、正準座標 $q$ と共役な正準運動量 $p$ を用いて
$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2+\frac{\alpha }{q^2}$$
で与えられる。ここで $m$, $\omega$, $\alpha$ は正の定数である。ポアソン括弧を $\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$ と定義する。

時刻 $t=0$ に $q=a(a>0)$, $p=0$ であった。$D=q^2$, $A=qp$ とおき、$D$, $A$, $H$ のあいだのポアソン括弧を用いて $D(t)$ の満たす微分方程式を導くことにより、時刻 $t=\frac{\pi }{6\omega }$ における $q$ の値を、$a$, $m$, $\omega$, $\alpha$ を用いて表せ。

一様な重力のもとで鉛直方向に運動する質量 $m$ の質点を考える。鉛直上向きを正として高さを $q$、それに共役な運動量を $p$ とすると、ハミルトニアンは
$$H=\frac{p^2}{2m}+mgq$$
である（$g>0$ は重力加速度の大きさ）。時間をあらわに含む物理量
$$f(q,p,t)=q-\frac{pt}{m}-\alpha t^2$$
（$\alpha$ は定数）が保存量となるように、$\alpha$ を $g$ で表せ。ただし、2 つの物理量 $A$, $B$ のポアソン括弧は $\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial q}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial q}$ と定義する。

水平面内で、細くまっすぐな棒が一端 O を通る鉛直軸のまわりに一定の角速度 $\omega$（$\omega >0$）で回転している。この棒に質量 $m$ の小さな玉が通してあり、玉は棒に沿ってなめらかに（摩擦なく）動く。O から玉までの距離を $r$ とすると、玉のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+r^2{\omega }^2\right)$$
である（重力は鉛直方向にはたらき、玉の運動には寄与しない）。$r$ に共役な一般化運動量を $p$ とするとき、ルジャンドル変換によってハミルトニアン $H$ を $r$, $p$, $m$, $\omega$ で表せ。

1 次元の座標 $x$ で記述される系のラグランジアンが
$$L=\frac{1}{2}m{e}^{2x/a}{\dot{x}}^2$$
で与えられる（$m,a$ は正の定数）。$x$ に共役な正準運動量を $p$、この系のハミルトニアンを $H(x,p)$ とする。

ポアソン括弧 $\{p,H\}$ を $m,a,x,p$ を用いて表せ。ただし、ポアソン括弧は
$$\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial x}$$
で定義する。