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解析力学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理解析力学

質量 $m$ の質点が $x y$ 平面内で 2 次元等方調和振動子のハミルトニアン
$H = \frac{p _{x}^{2} + p _{y}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} (x^{2} + y^{2}) (m > 0, ω > 0)$
にしたがって運動する。ここで $(x, y, p_{x}, p_{y})$ は正準変数で、ポアソン括弧を
${f, g} = q = x, y \sum (\frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p _{q}} - \frac{\partial f}{\partial p _{q}} \frac{\partial g}{\partial q})$
で定義する。 $H$ と可換な（ $H$ とのポアソン括弧が 0 になる）2 つの量
$A = \frac{p _{x} p _{y}}{m} + m ω^{2} x y, B = \frac{p _{x}^{2} - p _{y}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} (x^{2} - y^{2})$
を考える。ポアソン括弧 ${A, {A, B}}$ を $x, y, p_{x}, p_{y}, m, ω$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ポアソン括弧の計算（説明と入口の問題）
ポアソン括弧の代数と保存量の生成（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（132 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず内側の ${A, B}$ を定義どおり偏微分で計算する。結果が既知の保存量で書けないか考える。

ヒント 2

${A, B}$ は角運動量 $L = x p_{y} - y p_{x}$ の定数倍になる。すると ${A, {A, B}}$ は ${A, L}$ の計算に帰着する。

ヒント 3

${A, B} = - 2 ω^{2} L$ である。次に ${A, L}$ を計算し、それが $B$ の定数倍になることを確かめる。

答えと解説

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- \frac{2 ω ^{2} ( p _{x}^{2} - p _{y}^{2} )}{m} - 2 m ω^{4} (x^{2} - y^{2})

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解説を読む

必要な偏微分を書き出す。
$\frac{\partial A}{\partial x} = m ω^{2} y, \frac{\partial A}{\partial y} = m ω^{2} x, \frac{\partial A}{\partial p _{x}} = \frac{p _{y}}{m}, \frac{\partial A}{\partial p _{y}} = \frac{p _{x}}{m}$
$\frac{\partial B}{\partial x} = m ω^{2} x, \frac{\partial B}{\partial y} = - m ω^{2} y, \frac{\partial B}{\partial p _{x}} = \frac{p _{x}}{m}, \frac{\partial B}{\partial p _{y}} = - \frac{p _{y}}{m}$

${A, B}$ の計算

$x$ の項: $m ω^{2} y \cdot \frac{p _{x}}{m} - \frac{p _{y}}{m} \cdot m ω^{2} x = ω^{2} (y p_{x} - x p_{y})$

$y$ の項: $m ω^{2} x \cdot (- \frac{p _{y}}{m}) - \frac{p _{x}}{m} \cdot (- m ω^{2} y) = ω^{2} (y p_{x} - x p_{y})$

よって角運動量 $L = x p_{y} - y p_{x}$ を使うと
${A, B} = - 2 ω^{2} L$

${A, L}$ の計算

$\frac{\partial L}{\partial x} = p_{y}, \frac{\partial L}{\partial y} = - p_{x}, \frac{\partial L}{\partial p _{x}} = - y, \frac{\partial L}{\partial p _{y}} = x$
$x$ の項: $m ω^{2} y \cdot (- y) - \frac{p _{y}}{m} \cdot p_{y} = - m ω^{2} y^{2} - \frac{p _{y}^{2}}{m}$

$y$ の項: $m ω^{2} x \cdot x - \frac{p _{x}}{m} \cdot (- p_{x}) = m ω^{2} x^{2} + \frac{p _{x}^{2}}{m}$

よって
${A, L} = \frac{p _{x}^{2} - p _{y}^{2}}{m} + m ω^{2} (x^{2} - y^{2}) = 2 B$

結論

ポアソン括弧の双線形性より
${A, {A, B}} = - 2 ω^{2} {A, L} = - 4 ω^{2} B = - \frac{2 ω ^{2} ( p _{x}^{2} - p _{y}^{2} )}{m} - 2 m ω^{4} (x^{2} - y^{2})$

（参考: $A /2, B /2, ω L /2$ はポアソン括弧について角運動量と同じ形の閉じた関係（ $su (2)$ 代数）をつくり、これが等方調和振動子の縮退の起源になっている。）

別解

角運動量 $L = x p_{y} - y p_{x}$ を用いる。 $B$ と $A$ の括弧は、偏微分
$B_{x} = m ω^{2} x, B_{y} = - m ω^{2} y, B_{p_{x}} = p_{x} / m, B_{p_{y}} = - p_{y} / m$ 、
$A_{x} = m ω^{2} y, A_{y} = m ω^{2} x, A_{p_{x}} = p_{y} / m, A_{p_{y}} = p_{x} / m$ を使い、
${B, A} = B_{x} A_{p_{x}} - B_{p_{x}} A_{x} + B_{y} A_{p_{y}} - B_{p_{y}} A_{y} = ω^{2} (x p_{y} - y p_{x}) + ω^{2} (x p_{y} - y p_{x}) = 2 ω^{2} L$ 。
よって ${A, B} = - 2 ω^{2} L$ 。
次に $L_{x} = p_{y}, L_{y} = - p_{x}, L_{p_{x}} = - y, L_{p_{y}} = x$ より
${A, L} = A_{x} L_{p_{x}} - A_{p_{x}} L_{x} + A_{y} L_{p_{y}} - A_{p_{y}} L_{y} = - m ω^{2} y^{2} - \frac{p _{y}^{2}}{m} + m ω^{2} x^{2} + \frac{p _{x}^{2}}{m} = \frac{p _{x}^{2} - p _{y}^{2}}{m} + m ω^{2} (x^{2} - y^{2}) = 2 B$ 。
ゆえに ${A, {A, B}} = - 2 ω^{2} {A, L} = - 4 ω^{2} B = - \frac{2 ω ^{2} ( p _{x}^{2} - p _{y}^{2} )}{m} - 2 m ω^{4} (x^{2} - y^{2})$ 。
検算: 各項の次元が $ω^{2} \times$ （エネルギー）で揃っている。また ${A, {A, B}} = - 4 ω^{2} B$ は $A$ が生成する回転の2倍角の振動（角振動数 $2 ω$ の調和的関係）と整合する。

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