ポアソン括弧の計算

1 自由度の系の正準変数を $(q,p)$ とし、ポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$$
で定義する。相空間の関数 $f=q^{2}p$, $g=q{p}^2$ について、ポアソン括弧 $\{f,g\}$ を $q$, $p$ を用いて表せ。

水平面内で、鉛直な固定軸のまわりを一定の角速度 $\omega (>0)$ で回転する、まっすぐで細い針金がある。針金は固定軸と直交し、固定軸を通る。この針金に通した質量 $m$ の小さな玉が、針金に沿ってなめらかに動く。固定軸から玉までの針金に沿った位置を $r$（$r$ は実数で、負の値もとる）とすると、玉のラグランジアンは
$$L=\frac{m}{2}\left({\dot{r}}^2+{\omega }^2{r}^2\right)$$
で与えられる。

$r$ に共役な正準運動量を $p_r$、この系のハミルトニアンを $H(r,p_r)$ とする。ポアソン括弧 $\{r{p}_r,H\}$ を $m,\omega ,r,p_r$ を用いて表せ。ただし、ポアソン括弧は
$$\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial r}\frac{\partial B}{\partial p_r}-\frac{\partial A}{\partial p_r}\frac{\partial B}{\partial r}$$
で定義する。

1 次元の座標 $x$ で記述される系のラグランジアンが
$$L=\frac{1}{2}m{e}^{2x/a}{\dot{x}}^2$$
で与えられる（$m,a$ は正の定数）。$x$ に共役な正準運動量を $p$、この系のハミルトニアンを $H(x,p)$ とする。

ポアソン括弧 $\{p,H\}$ を $m,a,x,p$ を用いて表せ。ただし、ポアソン括弧は
$$\{A,B\}=\frac{\partial A}{\partial x}\frac{\partial B}{\partial p}-\frac{\partial A}{\partial p}\frac{\partial B}{\partial x}$$
で定義する。

$xy$ 平面内を運動する質量 $m$ の質点のハミルトニアンが、正準座標 $(x,y)$ と共役な正準運動量 $(p_x,p_y)$ を用いて
$$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{k}{2}\left(x^2+4y^2\right)(m>0,k>0)$$
で与えられる（$x$ 方向と $y$ 方向の角振動数の比が $1:2$ の非等方調和振動子）。ポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義する。$\beta ,\gamma$ を定数（$x,y,p_x,p_y,t$ によらない実数）として、相空間上の関数
$$G=x{p}_x{p}_y+\beta y{p}_x^2+\gamma x^{2}y$$
を考える。$G$ が任意の運動について保存量となる（すなわち $\{G,H\}=0$ が相空間のすべての点で成り立つ）ような $\beta ,\gamma$ を、$m,k$ を用いて表し、組 $(\beta ,\gamma )$ の形で答えよ。

質量 $m$、電荷 $q(>0)$ の粒子が $xy$ 平面内を運動する。$z$ 軸正の向きに一様な磁束密度 $B(>0)$ の磁場と、$x$ 軸正の向きに一様な大きさ $E(>0)$ の電場がかかっている。ベクトルポテンシャルを $\mathbf{A}=\left(-\frac{By}{2},\frac{Bx}{2},0\right)$、スカラーポテンシャルを $\varphi =-Ex$ にとると、正準変数 $(x,y,p_x,p_y)$ によるハミルトニアンは
$$H=\frac{1}{2m}\left[{\left(p_x+\frac{qBy}{2}\right)}^2+{\left(p_y-\frac{qBx}{2}\right)}^2\right]-qEx$$
である（SI 単位系、非相対論的に扱い、放射は無視する）。ポアソン括弧は $\{f,g\}=\sum _{i=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\right)$ と定義する。

運動学的運動量を ${\pi }_x=p_x+\frac{qBy}{2}$、${\pi }_y=p_y-\frac{qBx}{2}$ とし、量
$$X=x+\frac{{\pi }_y}{qB},Y=y-\frac{{\pi }_x}{qB}$$
（円運動の中心、すなわち案内中心の座標）を考える。正準方程式（ポアソン括弧による時間発展 $\dot{f}=\{f,H\}$）を用いて、$X$ と $Y$ の時間変化率 $\left(\dot{X},\dot{Y}\right)$ をこの順に組で求め、$E,B$ を用いて表せ。

平面内を運動する質量 $m$ の粒子を、正準座標 $(x,y)$ とそれに共役な正準運動量 $(p_x,p_y)$ で記述する。正の定数 $\omega$ を用いて、相空間上の 2 つの関数
$$K=\frac{p_x^2-p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(x^2-y^2\right),M=\frac{p_x{p}_y}{m}+m{\omega }^{2}xy$$
を定める。関数 $f,g$ のポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義するとき、ポアソン括弧 $\{K,M\}$ を $x,y,p_x,p_y,\omega$ を用いて表せ。

一様な力 $F$（定数、$F\ne 0$）を受けて 1 次元で運動する質量 $m$ の質点のハミルトニアンは、正準座標 $q$ と共役運動量 $p$ を用いて
$$H=\frac{p^2}{2m}-Fq$$
で与えられる。定数 $\alpha$, $\beta$ を用いて、時刻 $t$ をあらわに含む相空間上の関数
$$G(q,p,t)=q-\alpha pt+\beta t^2$$
を考える。ポアソン括弧を $\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$ で定義する。

$G$ が、正準方程式に従う任意の運動に対して時間によらず一定（保存量）となるような定数の組 $(\alpha ,\beta )$ を、$m$, $F$ を用いて表せ。

質量 $m$ の質点が $xy$ 平面内で 2 次元等方調和振動子のハミルトニアン
$$H=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(x^2+y^2\right)(m>0,\omega >0)$$
にしたがって運動する。ここで $(x,y,p_x,p_y)$ は正準変数で、ポアソン括弧を
$$\{f,g\}=\sum _{q=x,y}\left(\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p_q}-\frac{\partial f}{\partial p_q}\frac{\partial g}{\partial q}\right)$$
で定義する。$H$ と可換な（$H$ とのポアソン括弧が 0 になる）2 つの量
$$A=\frac{p_x{p}_y}{m}+m{\omega }^{2}xy,B=\frac{p_x^2-p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2\left(x^2-y^2\right)$$
を考える。ポアソン括弧 $\{A,\{A,B\}\}$ を $x,y,p_x,p_y,m,\omega$ を用いて表せ。