電磁場中の荷電粒子のラグランジアンとハミルトニアン

ラグランジアン $L = \frac{1}{2} m v^{2} + q v \cdot A - q ϕ$ から正準運動量 $p = m v + q A$ とハミルトニアン $H = \frac{( p - q A ) ^{2}}{2 m} + q ϕ$ を求め、運動学的運動量の括弧 ${π_{x}, π_{y}} = q B$ などを使って一様な電磁場中の運動（案内中心のドリフトなど）を求められる

前提

ポアソン括弧による時間発展と保存量（大学物理解析力学）
電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）

この技能までの道筋（170 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
ポアソン括弧の計算（大学物理解析力学）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
慣性モーメントの計算（大学物理力学（質点・剛体））
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
固定軸のまわりの回転と転がり運動（大学物理力学（質点・剛体））
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（大学物理解析力学）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
拘束のある系と一般化座標（大学物理解析力学）
一般化運動量と循環座標（大学物理解析力学）
ルジャンドル変換とハミルトニアン（大学物理解析力学）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
正準方程式（大学物理解析力学）
ポアソン括弧による時間発展と保存量（大学物理解析力学）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流がつくる磁場（右ねじの法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）

説明

電場・磁場の中を動く電荷 $q$ 、質量 $m$ の粒子も、ポテンシャル $ϕ$ , $A$ を使えばラグランジアン $L = \frac{1}{2} m v^{2} + q v \cdot A - q ϕ$ で記述でき、そこから正準運動量 $p = m v + q A$ とハミルトニアン $H = \frac{( p - q A ) ^{2}}{2 m} + q ϕ$ が得られます。速度に対応する「運動学的運動量」 $π = p - q A = m v$ のポアソン括弧は ${π_{x}, π_{y}} = q B_{z}$ のように磁場を含みます。これを使うと、一様な電磁場中の旋回運動や、電場と磁場が直交するときに現れるドリフト運動を、ポアソン括弧の計算だけで求められます。

なぜそうしてよいのか

ラグランジアンが正しいことの確認： $L$ の $x$ 成分についてオイラー・ラグランジュ方程式を書きます。 $\frac{\partial L}{\partial x ˙} = m x ˙ + q A_{x}$ で、 $A_{x} (x, y, z, t)$ は粒子とともに動く点で評価されるので $\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial x ˙} = m x ¨ + q (\partial_{t} A_{x} + v \cdot \nabla A_{x})$ 。一方 $\frac{\partial L}{\partial x} = q v \cdot \partial_{x} A - q \partial_{x} ϕ$ 。これらを等しいとおくと
$m x ¨ = q (- \partial_{x} ϕ - \partial_{t} A_{x}) + q (v \cdot \partial_{x} A - v \cdot \nabla A_{x})$
となり、第 1 項は $q E_{x}$ 、第 2 項を展開すると $v_{y} (\partial_{x} A_{y} - \partial_{y} A_{x}) - v_{z} (\partial_{z} A_{x} - \partial_{x} A_{z}) = v_{y} B_{z} - v_{z} B_{y} = (v \times B)_{x}$ です。つまりローレンツ力 $m r ¨ = q (E + v \times B)$ がちょうど再現されます。

ハミルトニアン： $p = \frac{\partial L}{\partial v} = m v + q A$ なので、正準運動量は $m v$ ではなく $q A$ だけずれます。ルジャンドル変換 $H = p \cdot v - L$ に $p = m v + q A$ を代入すると $q v \cdot A$ の項が打ち消し合い、 $H = \frac{1}{2} m v^{2} + q ϕ$ 。 $v = (p - q A) / m$ で書き直して $H = \frac{( p - q A ) ^{2}}{2 m} + q ϕ$ を得ます。磁場は仕事をしないので、 $H$ の値は運動エネルギー＋電気的位置エネルギーです。

運動学的運動量の括弧と時間変化： $π_{i} = p_{i} - q A_{i}$ とおくと、 ${p_{x}, A_{y}} = - \partial_{x} A_{y}$ , ${A_{x}, p_{y}} = \partial_{y} A_{x}$ などから
${π_{x}, π_{y}} = - q {p_{x}, A_{y}} - q {A_{x}, p_{y}} = q (\partial_{x} A_{y} - \partial_{y} A_{x}) = q B_{z}$
同様に ${π_{y}, π_{z}} = q B_{x}$ , ${π_{z}, π_{x}} = q B_{y}$ 。正準運動量どうしは ${p_{x}, p_{y}} = 0$ ですが、 $π$ の成分どうしは磁場があると括弧が 0 になりません。 $H = \frac{π ^{2}}{2 m} + q ϕ$ と書けるので、 ${π_{i}, H} = \sum_{j} \frac{π _{j}}{m} {π_{i}, π_{j}} + q {π_{i}, ϕ}$ はこの括弧と ${π_{i}, ϕ} = - \partial_{i} ϕ$ だけで計算できます。ただし $A$ が時間に依存すると、 $π_{i} = p_{i} - q A_{i}$ は時刻 $t$ をあらわに含むので、時間発展の式は
$\frac{d π _{i}}{d t} = {π_{i}, H} + \frac{\partial π _{i}}{\partial t} = {π_{i}, H} - q \partial_{t} A_{i}$
となります。こうすると $- \partial_{i} ϕ - \partial_{t} A_{i} = E_{i}$ がそろって現れ、 $m v ˙_{i} = q E_{i} + q (v \times B)_{i}$ となるので、結果は場 $E, B$ だけで決まり、ポテンシャルの選び方（ゲージ。時間に依存するゲージ変換では $ϕ$ も同時に変わる）によりません。場が時間によらず $A$ も時間によらないように選んだ場合（静的な場）は $\partial_{t} A_{i} = 0$ なので、単に $π ˙_{i} = {π_{i}, H}$ です。

手順

問題の場を与えるポテンシャル $ϕ$ , $A$ を書き、 $E = - \nabla ϕ - \partial_{t} A$ , $B = \nabla \times A$ で確かめる
正準運動量 $p = m v + q A$ とハミルトニアン $H = \frac{( p - q A ) ^{2}}{2 m} + q ϕ$ を書く
運動学的運動量 $π_{i} = p_{i} - q A_{i} (= m v_{i})$ を導入し、 ${π_{x}, π_{y}} = q B_{z}$ などと ${π_{i}, ϕ} = - \partial_{i} ϕ$ を用いて $\frac{d π _{i}}{d t} = {π_{i}, H} - q \partial_{t} A_{i}$ を計算する（ $A$ が時間によらなければ $π ˙_{i} = {π_{i}, H}$ ）
得られた $π_{i}$ の連立 1 階方程式を、定数のずれを吸収する変数を置くなどして 2 階の定数係数線形方程式に直して解く
初期条件（初速度は $π_{i} (0) = m v_{i} (0)$ ）で定数を決め、 $v_{i} = π_{i} / m$ に戻す

例題

電荷 $q (\neq = 0)$ 、質量 $m$ の粒子が、一様な磁場 $B = (0, 0, B)$ と一様な電場 $E = (E, 0, 0)$ の中を運動する（ $B \neq = 0$ , $E$ は定数）。ポテンシャルを $ϕ = - E x$ , $A = (0, B x, 0)$ とする。時刻 $0$ に粒子は静止していた。ポアソン括弧を用いて運動を求め、時刻 $t$ での速度の $y$ 成分 $v_{y} (t)$ を $q, m, E, B, t$ で表せ。

例題の解答

手順 1： $- \nabla ϕ = (E, 0, 0)$ 、 $A$ は時間によらないので $\partial_{t} A = 0$ 。 $\nabla \times A$ の $z$ 成分は $\partial_{x} (B x) - \partial_{y} 0 = B$ 、他の成分は 0。与えられた場になっている。

手順 2： $H = \frac{p _{x}^{2} + ( p _{y} - q B x ) ^{2} + p _{z}^{2}}{2 m} - q E x$ 。

手順 3： $π_{x} = p_{x}$ , $π_{y} = p_{y} - q B x$ , $π_{z} = p_{z}$ とおくと $H = \frac{π _{x}^{2} + π _{y}^{2} + π _{z}^{2}}{2 m} - q E x$ 。 $A$ は時間によらないので $π ˙_{i} = {π_{i}, H}$ 。括弧は ${π_{x}, π_{y}} = q B$ , ${π_{z}, π_{x}} = {π_{z}, π_{y}} = 0$ , ${π_{x}, x} = - 1$ , ${π_{y}, x} = 0$ 。ライプニッツ則より
$π ˙_{x} = {π_{x}, H} = \frac{π _{y}}{m} {π_{x}, π_{y}} - q E {π_{x}, x} = \frac{q B}{m} π_{y} + q E$
$π ˙_{y} = {π_{y}, H} = \frac{π _{x}}{m} {π_{y}, π_{x}} = - \frac{q B}{m} π_{x}$
（ $π ˙_{z} = 0$ で、 $π_{z} (0) = 0$ より $z$ 方向には動かない。）

手順 4： $ω = \frac{q B}{m}$ , $u = π_{y} + \frac{m E}{B}$ とおくと $π ˙_{x} = ω u$ , $u ˙ = - ω π_{x}$ 。よって $u ¨ = - ω^{2} u$ で、 $u = C_{1} cos ω t + C_{2} sin ω t$ 。

手順 5：静止から出発するので $π_{x} (0) = π_{y} (0) = 0$ 。 $u (0) = \frac{m E}{B}$ より $C_{1} = \frac{m E}{B}$ 、 $u ˙ (0) = - ω π_{x} (0) = 0$ より $C_{2} = 0$ 。したがって $π_{y} = \frac{m E}{B} (cos ω t - 1)$ で、
$v_{y} = \frac{π _{y}}{m} = \frac{E}{B} (cos \frac{q B t}{m} - 1)$
時間平均は $- \frac{E}{B}$ で、これは $\frac{E \times B}{B ^{2}} = (0, - \frac{E}{B}, 0)$ の向きに案内中心が流される $E \times B$ ドリフトを表している（電荷の符号によらない）。

答え: $\frac{E}{B} (cos \frac{q B t}{m} - 1)$

よくある誤り

正準運動量 $p_{y}$ をそのまま $m v_{y}$ としてしまう誤り。磁場中では $p = m v + q A$ なので、例題では正しくは $m v_{y} = p_{y} - q B x$ 。 $p_{y}$ は $H$ が $y$ を含まないので保存されるが、 $v_{y}$ は保存されない。
$π_{x}, π_{y}$ を正準運動量と同じように扱って ${π_{x}, π_{y}} = 0$ としてしまう誤り。正しくは ${π_{x}, π_{y}} = q (\partial_{x} A_{y} - \partial_{y} A_{x}) = q B_{z}$ で、これを落とすとローレンツ力の磁場の項が消えてしまう。
ルジャンドル変換で $q v \cdot A$ の項を残し、 $H = \frac{1}{2} m v^{2} + q v \cdot A + q ϕ$ などとしてしまう誤り。 $p \cdot v = m v^{2} + q v \cdot A$ から $L$ を引くとこの項は打ち消し合い、正しくは $H = \frac{( p - q A ) ^{2}}{2 m} + q ϕ$ 。
$A$ が時間に依存するのに $π ˙_{i} = {π_{i}, H}$ だけで計算してしまう誤り。 $π_{i} = p_{i} - q A_{i}$ は $t$ をあらわに含むので、正しくは $\frac{d π _{i}}{d t} = {π_{i}, H} - q \partial_{t} A_{i}$ で、この項が誘導電場 $- \partial_{t} A$ による力 $- q \partial_{t} A$ を与える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ 、電荷 $q$ （ $q > 0$ ）の荷電粒子が、 $z$ 軸の正の向きの一様な磁場（磁束密度の大きさ $B > 0$ ）の中で $x y$ 平面内を運動する。電場はなく（ $ϕ = 0$ ）、ベクトルポテンシャルを $A = (0, B x, 0)$ にとる。粒子のラグランジアンは
$L = \frac{m}{2} (x ˙^{2} + y ˙^{2}) + q (x ˙ A_{x} + y ˙ A_{y})$
である。時刻 $t = 0$ に粒子は原点にあり、速度は $(x ˙, y ˙) = (0, v_{0})$ （ $v_{0} > 0$ ）であった。 $y$ に共役な正準運動量 $p_{y}$ が保存することと、粒子の速さが一定であることを用いて、その後の運動で粒子の $x$ 座標がとる最大値を $m$ , $q$ , $B$ , $v_{0}$ で表せ。重力は無視する。

この技能を使う問題

難易度 3（期末試験の応用レベル）
質量 $m$ 、電荷 $q (> 0)$ の粒子が $x y$ 平面内を運動する。 $z$ 軸正の向きに一様な磁束密度 $B (> 0)$ の磁場と、 $x$ 軸正の向きに一様な大きさ $E (> 0)$ の電場がかかっている。ベクトルポテンシャルを $A = (- \frac{B y}{2}, \frac{B x}{2}, 0)$ 、スカラーポテンシャルを $ϕ = - E x$ にとると、正準変数 $(x, y, p_{x}, p_{y})$ によるハミルトニアンは
$H = \frac{1}{2 m} [(p_{x} + \frac{q B y}{2})^{2} + (p_{y} - \frac{q B x}{2})^{2}] - q E x$
である（SI 単位系、非相対論的に扱い、放射は無視する）。ポアソン括弧は ${f, g} = i = x, y \sum (\frac{\partial f}{\partial q _{i}} \frac{\partial g}{\partial p _{i}} - \frac{\partial f}{\partial p _{i}} \frac{\partial g}{\partial q _{i}})$ と定義する。
運動学的運動量を $π_{x} = p_{x} + \frac{q B y}{2}$ 、 $π_{y} = p_{y} - \frac{q B x}{2}$ とし、量
$X = x + \frac{π _{y}}{q B}, Y = y - \frac{π _{x}}{q B}$
（円運動の中心、すなわち案内中心の座標）を考える。正準方程式（ポアソン括弧による時間発展 $f ˙ = {f, H}$ ）を用いて、 $X$ と $Y$ の時間変化率 $(X ˙, Y ˙)$ をこの順に組で求め、 $E, B$ を用いて表せ。

この技能の次に学べること

アハラノフ・ボーム効果（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））