アハラノフ・ボーム効果

磁場のない領域でもベクトルポテンシャルによる位相 $\frac{q}{ℏ} \oint A \cdot d l = \frac{q Φ}{ℏ}$ が波動関数に付くことを使い、2 経路の干渉縞のずれや、磁束を囲むリング上の粒子のエネルギー準位 $E_{n} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} (n - \frac{Φ}{Φ _{0}})^{2}$ と周期 $Φ_{0} = \frac{h}{q}$ を求められる

前提

ゲージ変換とゲージ条件（大学物理電磁波と電磁場）
電磁場中の荷電粒子のラグランジアンとハミルトニアン（大学物理解析力学）
ストークスの定理（大学数学ベクトル解析）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））

この技能までの道筋（182 技能）

算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
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素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
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三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
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行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
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円の周の長さと面積（算数平面図形）
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音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
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電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
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電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）
ゲージ変換とゲージ条件（大学物理電磁波と電磁場）
ポアソン括弧の計算（大学物理解析力学）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
力のモーメント（高校物理力と運動）
慣性モーメントの計算（大学物理力学（質点・剛体））
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
正弦定理・余弦定理と三角形の面積（数学I 図形と計量）
極座標（数学C 平面上の曲線）
極座標での運動方程式（大学物理力学（質点・剛体））
角運動量とトルク（大学物理力学（質点・剛体））
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）
力学的エネルギー保存則（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
固定軸のまわりの回転と転がり運動（大学物理力学（質点・剛体））
ラグランジアンとオイラー・ラグランジュ方程式（大学物理解析力学）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
記録タイマーの打点と速さ（中学理科運動とエネルギー）
斜面の運動と等速直線運動（中学理科運動とエネルギー）
変位・速度・加速度（直線運動）（高校物理運動の表し方）
速度の合成と分解（高校物理運動の表し方）
拘束のある系と一般化座標（大学物理解析力学）
一般化運動量と循環座標（大学物理解析力学）
ルジャンドル変換とハミルトニアン（大学物理解析力学）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
正準方程式（大学物理解析力学）
ポアソン括弧による時間発展と保存量（大学物理解析力学）
電磁場中の荷電粒子のラグランジアンとハミルトニアン（大学物理解析力学）
グリーンの定理（大学数学ベクトル解析）
ストークスの定理（大学数学ベクトル解析）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

細長いソレノイドの外側のように、磁場 $B$ が 0 でもベクトルポテンシャル $A$ が 0 でない領域を荷電粒子が通ると、古典的には力を受けないのに、量子力学では波動関数に位相 $\frac{q}{ℏ} \int A \cdot d l$ が付きます。閉じた道に沿った位相の合計は、囲んだ磁束 $Φ$ だけで決まる $\frac{q Φ}{ℏ}$ です（アハラノフ・ボーム効果）。これを使うと、磁束をはさむ 2 経路の干渉縞のずれや、磁束を囲むリング上の粒子のエネルギー準位 $E_{n} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} (n - \frac{Φ}{Φ _{0}})^{2}$ を求められます。物理量が磁束について周期 $Φ_{0} = \frac{h}{q}$ で繰り返すことも読み取れます。

なぜそうしてよいのか

半径 $a$ 、磁束 $Φ$ の無限に長いソレノイドの外側（ $r > a$ ）では $B = 0$ ですが、ソレノイドを囲む円にストークスの定理を使うと $\oint A \cdot d l = \iint B \cdot n d S = Φ \neq = 0$ なので、 $A$ は 0 にできません。対称性から $A = \frac{Φ}{2 π r} ϕ^$ ととれ、これは $A = \nabla χ$ 、 $χ = \frac{Φ ϕ}{2 π}$ と書けます。ただし $χ$ は 1 周で $Φ$ だけ増えるので、全体では一価な関数ではありません。

ハミルトニアン $H = \frac{( p - q A ) ^{2}}{2 m} + V$ （ $p = - i ℏ\nabla$ ）で、 $A = \nabla χ$ のとき $(p - q A) (e^{i q χ /ℏ} ψ_{0}) = e^{i q χ /ℏ} p ψ_{0}$ が成り立ちます（積の微分で $p$ が位相因子に当たって出る $q \nabla χ$ が $q A$ と打ち消す）。したがって、 $A = 0$ のときの解 $ψ_{0}$ に位相 $e^{\frac{i q}{ℏ} \int^{r} A \cdot d l}$ を掛ければ $A$ があるときの解になります。単連結な領域ならこれは単なるゲージ変換ですが、ソレノイドの左右を通る 2 経路を比べると、位相の差は $\frac{q}{ℏ} (\int_{1} - \int_{2}) A \cdot d l = \frac{q}{ℏ} \oint A \cdot d l = \frac{q Φ}{ℏ}$ となり、どのようなゲージ変換（一価な $χ$ ）でも消せません。これが干渉縞を $\frac{q Φ}{ℏ}$ だけ（縞の間隔の $\frac{Φ}{Φ _{0}}$ 倍だけ）ずらします。

リング（半径 $R$ 、角度 $ϕ$ ）上に拘束された粒子では、 $p_{ϕ} = - \frac{i ℏ}{R} \partial_{ϕ}$ 、 $A_{ϕ} = \frac{Φ}{2 π R}$ より $H = \frac{1}{2 m} (- \frac{i ℏ}{R} \partial_{ϕ} - \frac{q Φ}{2 π R})^{2} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} (- i \partial_{ϕ} - \frac{Φ}{Φ _{0}})^{2}$ （ $Φ_{0} = \frac{2 π ℏ}{q} = \frac{h}{q}$ ）です。波動関数はリング上で一価でなければならないので $ψ = \frac{1}{2 π} e^{in ϕ}$ （ $n$ は整数）で、 $E_{n} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} (n - \frac{Φ}{Φ _{0}})^{2}$ となります。 $Φ \to Φ + Φ_{0}$ は $n \to n + 1$ と付け替えるだけなので、準位の集合は $Φ_{0}$ の周期をもちます。

手順

粒子が通る領域で $B = 0$ でも、経路が囲む磁束 $Φ$ をストークスの定理 $\oint A \cdot d l = Φ$ で求める（向きは右ねじで合わせる）
干渉なら、2 経路の位相差 $Δ φ = \frac{q Φ}{ℏ}$ を求め、縞のずれを $\frac{Δ φ}{2 π} = \frac{Φ}{Φ _{0}}$ 本分とする
リングなら、 $Φ_{0} = \frac{h}{q}$ を計算し、比 $\frac{Φ}{Φ _{0}}$ を求める
一価条件から $n$ は整数として $E_{n} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} (n - \frac{Φ}{Φ _{0}})^{2}$ を書く
基底状態など特定の準位が必要なら、 $\frac{Φ}{Φ _{0}}$ に最も近い整数 $n$ を選んで代入する

例題

質量 $m$ 、電荷 $q > 0$ の粒子が、半径 $R$ の細いリング上だけを運動する。リングの中心を通りリング面に垂直な細いソレノイドがあり、ソレノイド内部の磁束は $Φ = \frac{h}{4 q}$ で、リング上では磁場は 0 である（ $h = 2 π ℏ$ はプランク定数）。リング上にポテンシャルはないとする。この粒子の基底状態のエネルギーを $m, R, ℏ$ で表せ。

例題の解答

手順 1：リングはソレノイドを 1 周囲むので、リングに沿った $\oint A \cdot d l = Φ$ 。リング上では $B = 0$ だが $A_{ϕ} = \frac{Φ}{2 π R}$ である。（手順 2 は 2 経路の干渉のときの手順なので、ここでは使わない。）

手順 3： $Φ_{0} = \frac{h}{q}$ なので $\frac{Φ}{Φ _{0}} = \frac{h / ( 4 q )}{h / q} = \frac{1}{4}$ 。

手順 4：波動関数の一価条件から $ψ = \frac{1}{2 π} e^{in ϕ}$ （ $n$ は整数）で、
$E_{n} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} (n - \frac{1}{4})^{2} .$

手順 5： $\frac{1}{4}$ に最も近い整数は $n = 0$ で、 $E_{0} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} \cdot \frac{1}{16} = \frac{ℏ ^{2}}{32 m R ^{2}}$ 。（次は $n = 1$ の $\frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} \cdot \frac{9}{16}$ で、磁束がないときに縮退していた $n = \pm 1$ も分裂している。）

よって基底状態のエネルギーは $\frac{ℏ ^{2}}{32 m R ^{2}}$ 。リング上に磁場がないにもかかわらず、磁束のない場合の値 $0$ から変化している。

答え: $\frac{ℏ ^{2}}{32 m R ^{2}}$

よくある誤り

粒子の通る場所で $B = 0$ なので、波動関数やエネルギー準位は磁束の影響を受けないとしてしまう誤り。正しくは、ソレノイドを囲む道では $\oint A \cdot d l = Φ \neq = 0$ で、この位相 $\frac{q Φ}{ℏ}$ は一価なゲージ変換では消せず、 $E_{n} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} (n - \frac{Φ}{Φ _{0}})^{2}$ のように観測量に現れる。
磁束量子を $Φ_{0} = \frac{ℏ}{q}$ としてしまう誤り。位相 $\frac{q Φ}{ℏ}$ が $2 π$ 変わる磁束が周期なので、正しくは $Φ_{0} = \frac{2 π ℏ}{q} = \frac{h}{q}$ 。（超伝導の $\frac{h}{2 e}$ は電荷 $q = 2 e$ の対を考えたもので、同じ式の特別な場合。）
基底状態をいつも $n = 0$ としてしまう誤り。 $E_{n}$ を最小にする $n$ は $\frac{Φ}{Φ _{0}}$ に最も近い整数であり、例えば $Φ = \frac{3}{4} Φ_{0}$ なら基底状態は $n = 1$ で $E_{1} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} \cdot \frac{1}{16}$ 。 $n = 0$ では $E_{0} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} \cdot \frac{9}{16}$ で、 $E_{1}$ の 9 倍になる。
$ψ = e^{i q χ /ℏ} ψ_{0}$ で $A$ を完全に消去できるとして、リングでも $E_{n} = \frac{ℏ ^{2} n ^{2}}{2 m R ^{2}}$ のままとしてしまう誤り。 $χ = \frac{Φ ϕ}{2 π}$ は 1 周で $Φ$ 増える多価関数なので、 $ψ_{0}$ は境界条件 $ψ_{0} (ϕ + 2 π) = e^{- 2 π i Φ/ Φ_{0}} ψ_{0} (ϕ)$ を満たす必要があり、結果は $E_{n} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m R ^{2}} (n - \frac{Φ}{Φ _{0}})^{2}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
質量 $m$ 、電荷 $q > 0$ の粒子が、 $x y$ 平面上の原点を中心とする半径 $R$ の細いリング上だけを動く（1 次元の円周上の運動）。リングの中心を $z$ 軸方向に細く長いソレノイドが貫いており、ソレノイドの内部にだけ磁束 $Φ$ が閉じ込められていて、リング上の磁場は $0$ である。リング上のベクトルポテンシャルは周方向成分のみで $A_{φ} = \frac{Φ}{2 π R}$ とする。
磁束量子を $Φ_{0} = \frac{h}{q} = \frac{2 π ℏ}{q}$ とし、 $Φ = \frac{Φ _{0}}{4}$ のとき、この粒子のエネルギー準位のうち最も低いもの（基底状態のエネルギー）を $ℏ, m, R$ を用いて表せ。