ゲージ変換とゲージ条件

ゲージ変換 $A^{'} = A + \nabla χ$ 、 $ϕ^{'} = ϕ - \partial_{t} χ$ で場が変わらないことを使い、ローレンツ条件・クーロン条件・テンポラルゲージなどを満たすゲージ関数 $χ$ と変換後のポテンシャルを求められる

前提

電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）

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算数中学高校大学大学院

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電磁ポテンシャルと場（大学物理電磁波と電磁場）

説明

電場と磁場が同じでも、それを表すポテンシャル $(ϕ, A)$ の選び方は 1 通りではありません。任意の関数 $χ (r, t)$ を使って $A^{'} = A + \nabla χ$ 、 $ϕ^{'} = ϕ - \partial_{t} χ$ と書きかえても場は変わらず、これをゲージ変換、 $χ$ をゲージ関数といいます。この自由度を使うと、計算しやすい条件（ゲージ条件）を満たすようにポテンシャルを選び直せます。電磁波の方程式を解くときや、一様な電場・磁場のポテンシャルを都合のよい形に直すときに使います。

なぜそうしてよいのか

場はポテンシャルから $E = - \nabla ϕ - \partial_{t} A$ 、 $B = \nabla \times A$ で決まります。 $A^{'} = A + \nabla χ$ 、 $ϕ^{'} = ϕ - \partial_{t} χ$ を代入すると、磁場は $\nabla \times A^{'} = \nabla \times A + \nabla \times (\nabla χ)$ で、勾配の回転はいつも $0$ なので $B^{'} = B$ です（成分で書くと $\partial_{y} \partial_{z} χ - \partial_{z} \partial_{y} χ = 0$ のように偏微分の順序の入れかえで消えます）。電場は $E^{'} = - \nabla ϕ + \nabla (\partial_{t} χ) - \partial_{t} A - \partial_{t} (\nabla χ) = E$ となり、 $ϕ$ に加えた分と $A$ に加えた分がちょうど打ち消し合います。 $ϕ^{'}$ の符号がマイナスなのは、この打ち消しのためです（ $χ$ は十分なめらかで、偏微分の順序を入れかえてよいものとします）。

場が同じなら物理的な予言は同じなので、 $χ$ を自由に選んでポテンシャルに条件を課せます。代表的なものは、クーロン条件 $\nabla \cdot A^{'} = 0$ 、ローレンツ条件 $\nabla \cdot A^{'} + \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t} ϕ^{'} = 0$ （SI 単位系）、テンポラルゲージ $ϕ^{'} = 0$ です。変換の式を条件に代入すると、それぞれ $χ$ が満たすべき方程式
$\nabla^{2} χ = - \nabla \cdot A, \nabla^{2} χ - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} χ = - (\nabla \cdot A + \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t} ϕ), \partial_{t} χ = ϕ$
が得られます。これを解いて $χ$ を 1 つ見つければ、条件を満たすポテンシャルが作れます。

なお、条件を満たす $χ$ は 1 つに決まりません。たとえばテンポラルゲージでは、時間によらない関数を $χ$ に足しても $ϕ^{'} = 0$ は保たれます（残りのゲージ自由度）。そのため問題では「 $t = 0$ で $χ = 0$ 」のような付加条件をつけて $χ$ を 1 つに決めます。

手順

元のポテンシャル $ϕ$ 、 $A$ と、課したいゲージ条件を確認する
変換の式 $A^{'} = A + \nabla χ$ 、 $ϕ^{'} = ϕ - \partial_{t} χ$ をゲージ条件に代入し、 $χ$ が満たす方程式を作る（テンポラル: $\partial_{t} χ = ϕ$ 、クーロン: $\nabla^{2} χ = - \nabla \cdot A$ 、ローレンツ: $\nabla^{2} χ - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} χ = - (\nabla \cdot A + \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t} ϕ)$ ）
その方程式を解いて $χ$ を 1 つ求める。問題で与えられた付加条件（ $t = 0$ で $χ = 0$ など）で積分定数や任意関数を決める
$χ$ を変換の式に入れ、 $A^{'}$ と $ϕ^{'}$ を両方とも求める
$E = - \nabla ϕ^{'} - \partial_{t} A^{'}$ 、 $B = \nabla \times A^{'}$ を計算し、元の場と一致することを確かめる

例題

SI 単位系で、空間全体に $x$ 方向の一様な電場 $E_{0}$ （定数）があり、ポテンシャルが $ϕ = - E_{0} x$ 、 $A = 0$ で与えられている。ゲージ変換 $A^{'} = A + \nabla χ$ 、 $ϕ^{'} = ϕ - \partial_{t} χ$ によってテンポラルゲージ $ϕ^{'} = 0$ にしたい。ゲージ関数 $χ$ はすべての位置で $t = 0$ のとき $χ = 0$ となるように選ぶ。変換後のベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_{x}^{'}$ を、 $E_{0}$ と時刻 $t$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: 元のポテンシャルは $ϕ = - E_{0} x$ 、 $A = 0$ 。課す条件は $ϕ^{'} = 0$ である。

手順 2: $ϕ^{'} = ϕ - \partial_{t} χ = 0$ より、 $χ$ が満たす方程式は
$\partial_{t} χ = ϕ = - E_{0} x$

手順 3: 右辺は $t$ によらないので、 $t$ で積分して $χ = - E_{0} x t + f (x, y, z)$ （ $f$ は時間によらない任意の関数）。 $t = 0$ ですべての位置で $χ = 0$ となるには $f = 0$ なので
$χ = - E_{0} x t$

手順 4: $\nabla χ = (\partial_{x} χ, \partial_{y} χ, \partial_{z} χ) = (- E_{0} t, 0, 0)$ だから
$A^{'} = 0 + \nabla χ = (- E_{0} t, 0, 0), ϕ^{'} = - E_{0} x - (- E_{0} x) = 0$

手順 5: 確かめ。 $E = - \nabla ϕ^{'} - \partial_{t} A^{'} = 0 - (- E_{0}, 0, 0) = (E_{0}, 0, 0)$ で元の電場と一致し、 $A^{'}$ は位置によらないので $B = \nabla \times A^{'} = 0$ も元と同じである。

よって $A_{x}^{'} = - E_{0} t$ 。

答え: $- E_{0} t$

よくある誤り

スカラーポテンシャルを $ϕ^{'} = ϕ + \partial_{t} χ$ としてしまう誤り。正しくは $ϕ^{'} = ϕ - \partial_{t} χ$ で、この符号でないと $E^{'} = E - 2\nabla (\partial_{t} χ)$ のように電場が変わってしまう。
$A$ だけを変換して $ϕ$ をそのままにしてしまう誤り。 $χ$ が時間による限り $A^{'} = A + \nabla χ$ と $ϕ^{'} = ϕ - \partial_{t} χ$ は必ず組で変える。例題で $ϕ = - E_{0} x$ を残したまま $A^{'} = (- E_{0} t, 0, 0)$ とすると $E = (2 E_{0}, 0, 0)$ になってしまう。
ローレンツ条件を $\nabla \cdot A + c^{2} \partial_{t} ϕ = 0$ や $\nabla \cdot A - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t} ϕ = 0$ と書いてしまう誤り。SI 単位系では $\nabla \cdot A + \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t} ϕ = 0$ で、 $χ$ の方程式は $\nabla^{2} χ - \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t}^{2} χ = - (\nabla \cdot A + \frac{1}{c ^{2}} \partial_{t} ϕ)$ となる。
ゲージ条件を満たす $χ$ が 1 つに決まると思い込む誤り。たとえばクーロン条件では $\nabla^{2} h = 0$ を満たす $h$ を $χ$ に足しても条件は保たれ、テンポラルゲージでは時間によらない関数を足してもよい。答えを 1 つに決めるには、問題の付加条件（ $t = 0$ で $χ = 0$ など）を必ず使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
一様な静電場を表す電磁ポテンシャルとして、直交座標 $(x, y, z)$ と時刻 $t$ を用いて
$ϕ (x, y, z, t) = - E_{0} x, A (x, y, z, t) = 0$
が与えられている。ここで $E_{0}$ は正の定数である。
ゲージ関数 $χ (x, y, z, t)$ によるゲージ変換
$A^{'} = A + \nabla χ, ϕ^{'} = ϕ - \frac{\partial χ}{\partial t}$
を行い、すべての点・時刻で $ϕ^{'} = 0$ （テンポラルゲージ）となるようにする。ただし、 $χ$ は時刻 $t = 0$ ですべての点で $χ = 0$ を満たすものとする。このとき、変換後のベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_{x}^{'}$ を $E_{0}$ , $t$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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線形化重力と重力波の偏極（大学院物理一般相対論）
アハラノフ・ボーム効果（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））