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電磁波と電磁場の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理電磁波と電磁場

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $ϕ$ とベクトルポテンシャル $A$ によって
$ϕ = 0, A (x, y, z, t) = (α x t, 0, 0)$
と表されている（ $α$ は $0$ でない定数）。電場と磁場は $E = - \nabla ϕ - \frac{\partial A}{\partial t}$ , $B = \nabla \times A$ で与えられる。このポテンシャルにゲージ変換
$A^{'} = A + \nabla χ, ϕ^{'} = ϕ - \frac{\partial χ}{\partial t}$
をほどこし、変換後のポテンシャルがローレンツ条件
$\nabla \cdot A^{'} + \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ϕ ^{'}}{\partial t} = 0$
を満たすようにしたい（ $c$ は真空中の光速）。ゲージ関数 $χ$ は時刻 $t$ だけの関数 $χ (t)$ とし、 $χ (0) = 0$ , $\frac{d χ}{d t} (0) = 0$ を満たすものとする。変換後のスカラーポテンシャル $ϕ^{'}$ を $α$ , $c$ , $t$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ゲージ変換とゲージ条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（117 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ゲージ変換後のポテンシャルをローレンツ条件に代入し、 $χ$ が満たすべき方程式を導く。

ヒント 2

$\nabla \cdot A^{'} + \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ϕ ^{'}}{\partial t} = \nabla \cdot A + \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ϕ}{\partial t} + \nabla^{2} χ - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} χ}{\partial t ^{2}}$ 。 $χ$ が $t$ だけの関数なら $\nabla^{2} χ = 0$ 。

ヒント 3

$\frac{d ^{2} χ}{d t ^{2}} = α c^{2} t$ を、与えられた初期条件のもとで積分し、 $ϕ^{'} = ϕ - \frac{d χ}{d t}$ に代入する。

答えと解説

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- \frac{α c ^{2} t ^{2}}{2}

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解説を読む

元のポテンシャルがローレンツ条件を満たさないこと
$\nabla \cdot A = \frac{\partial ( α x t )}{\partial x} = α t, \frac{\partial ϕ}{\partial t} = 0$
なので $\nabla \cdot A + \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ϕ}{\partial t} = α t \neq = 0$ である。

$χ$ が満たす式 ゲージ変換後のポテンシャルを代入すると
$\nabla \cdot A^{'} + \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ϕ ^{'}}{\partial t} = (\nabla \cdot A + \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ϕ}{\partial t}) + \nabla^{2} χ - \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} χ}{\partial t ^{2}}$
$χ = χ (t)$ では $\nabla^{2} χ = 0$ なので、ローレンツ条件は
$α t - \frac{1}{c ^{2}} \frac{d ^{2} χ}{d t ^{2}} = 0 ∴ \frac{d ^{2} χ}{d t ^{2}} = α c^{2} t$

積分 $\frac{d χ}{d t} (0) = 0$ より $\frac{d χ}{d t} = \frac{α c ^{2} t ^{2}}{2}$ 、さらに $χ (0) = 0$ より $χ = \frac{α c ^{2} t ^{3}}{6}$ 。

変換後のスカラーポテンシャル
$ϕ^{'} = ϕ - \frac{d χ}{d t} = 0 - \frac{α c ^{2} t ^{2}}{2} = - \frac{α c ^{2} t ^{2}}{2}$

（確認: $\nabla χ = 0$ なので $A^{'} = A$ 。電場は変換前 $E = - \frac{\partial A}{\partial t} = (- α x, 0, 0)$ 、変換後も $ϕ^{'}$ は位置によらないので $- \nabla ϕ^{'} = 0$ で $E^{'} = (- α x, 0, 0)$ となり、ゲージ変換で電場・磁場が変わらないことが確かめられる。ローレンツ条件も $α t + \frac{1}{c ^{2}} (- α c^{2} t) = 0$ で満たされる。）

別解

$χ = χ (t)$ は位置によらないので $\nabla χ = 0$ 、よって $A^{'} = A = (α x t, 0, 0)$ で、 $\nabla \cdot A^{'} = \partial_{x} (α x t) = α t$ 。また $ϕ^{'} = ϕ - χ ˙ = - χ ˙$ 。

ローレンツ条件は $α t + \frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ϕ ^{'}}{\partial t} = 0$ 、すなわち $α t - \frac{χ ¨}{c ^{2}} = 0$ 。よって $χ ¨ = α c^{2} t$ 。

$t$ で積分すると $χ ˙ = \frac{α c ^{2} t ^{2}}{2} + C$ 。 $χ ˙ (0) = 0$ より $C = 0$ 。ゆえに
$ϕ^{'} = - χ ˙ = - \frac{α c ^{2} t ^{2}}{2} .$
（ $χ (0) = 0$ から $χ = α c^{2} t^{3} /6$ で、 $ϕ^{'}$ には影響しない。）

確かめ: $\partial_{t} ϕ^{'} = - α c^{2} t$ なので $α t + \frac{1}{c ^{2}} (- α c^{2} t) = 0$ となりローレンツ条件を満たす。また $E^{'} = - \nabla ϕ^{'} - \partial_{t} A^{'} = - (α x, 0, 0)$ で、元の $E = - (α x, 0, 0)$ と一致し、ゲージ変換で電場が不変であることも確かめられる。

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