電磁波と電磁場

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ によって
$$\varphi (x,y,z,t)=\kappa x^{2}t,\mathbf{A}(x,y,z,t)=\left(\alpha x{t}^2,0,0\right)$$
と表されている。ここで $\kappa ,\alpha$ は実定数である。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$、$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で与えられるものとする。

点 $(x,y,z)$、時刻 $t$ における電場の $x$ 成分 $E_x$ を、$\kappa ,\alpha ,x,t$ を用いて求めよ。

真空中で、電場が直交座標 $(x,y,z)$ と時刻 $t$ の関数として
$$\mathbf{E}(z,t)=(E_0\sin (kz-\omega t),0,0)$$
で与えられている。ここで $E_0$, $k$, $\omega$ は正の定数である。

マクスウェル方程式 $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ を用いて、磁束密度 $\mathbf{B}$ の $y$ 成分 $B_y(z,t)$ を $E_0$, $k$, $\omega$, $z$, $t$ を用いて表せ。ただし、時間によらない一定の磁場は存在しないものとする。

真空中を $x$ 軸の正の向きに進む平面電磁波があり、電場が
$$\mathbf{E}(x,t)=(0,E_0\cos (kx-\omega t),0)$$
で表されている。ここで $E_0$ は正の定数、波数は $k=2.0rad/m$ であり、$\omega$ は正の定数である。真空中の光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

この電磁波の角振動数 $\omega$ は何 $rad/s$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある空間領域で、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ が、直交座標 $(x,y,z)$ と時刻 $t$ の関数として
$$\varphi (x,y,z,t)=\alpha x^{2}y,\mathbf{A}(x,y,z,t)=(0,\beta t{y}^2,0)$$
で与えられている。ここで $\alpha$, $\beta$ は定数である。

電場 $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ の $y$ 成分 $E_y$ を $\alpha$, $\beta$, $x$, $y$ を用いて表せ。

内部が真空の長方形導波管があり、断面の内寸は $a=2.0\mathrm{cm}$（$x$ 方向）、$b=1.0\mathrm{cm}$（$y$ 方向）で、管は $z$ 方向にのびている。管壁は完全導体とみなす。真空中の光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

この導波管の ${\mathrm{TE}}_{mn}$ モードの分散関係は
$${\omega }^2=c^2\left(k_z^2+{\left(\frac{m\pi }{a}\right)}^2+{\left(\frac{n\pi }{b}\right)}^2\right)$$
で与えられる（$\omega$ は角振動数、$k_z$ は管軸方向の波数）。${\mathrm{TE}}_{10}$ モード（$m=1$, $n=0$）の遮断周波数は何 $\mathrm{GHz}$ か。

一様な静電場を表す電磁ポテンシャルとして、直交座標 $(x,y,z)$ と時刻 $t$ を用いて
$$\varphi (x,y,z,t)=-E_{0}x,\mathbf{A}(x,y,z,t)=0$$
が与えられている。ここで $E_0$ は正の定数である。

ゲージ関数 $\chi (x,y,z,t)$ によるゲージ変換
$${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi ,{\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t}$$
を行い、すべての点・時刻で ${\varphi }^{\prime }=0$（テンポラルゲージ）となるようにする。ただし、$\chi$ は時刻 $t=0$ ですべての点で $\chi =0$ を満たすものとする。このとき、変換後のベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_x^{\prime }$ を $E_0$, $t$ を用いて表せ。

真空中で、強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）$I=1.2\times 10^{3}W/{\mathrm{m}}^2$ の平面電磁波が、平らな鏡に垂直に入射している。鏡は入射した電磁波をすべて反射し（反射率 $1$）、鏡は静止したままとする。真空中の光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

鏡が電磁波から受ける単位面積あたりの力の大きさ（放射圧）の時間平均は何 $\mathrm{Pa}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

屈折率 $n_1=1$ の空気から、屈折率 $n_2=\frac{3}{2}$ のガラスの平らな表面に、平面電磁波（光）が垂直に入射する。空気もガラスも透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、吸収はないものとする。境界では電場 $\mathbf{E}$ と磁場 $\mathbf{H}$ の接線成分がそれぞれ連続である。

この境界での強度の透過率 $T$（入射波の強度に対する透過波の強度の比）を既約分数で求めよ。

電子密度 $n$ の一様なプラズマ中を、角振動数 $\omega$ の横波の電磁波が $z$ 軸の正の向きに伝わっている。電子の質量を $m$、電気素量を $e$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、真空中の光速を $c$ とする。イオンは重いので静止しているとみなし、電子の熱運動と衝突、電磁波の磁場から電子が受ける力は無視する。プラズマ角振動数を ${\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_{0}m}}$ とする。

$\omega =2{\omega }_p$ のとき、この電磁波の位相速度 $\frac{\omega }{k}$（$k>0$ は波数）は $c$ の何倍か。

真空中の原点に、$z$ 軸方向に振動する電気双極子モーメント
$$\mathbf{p}(t)=(0,0,p_0\cos \omega t)$$
がある。ここで $p_0$, $\omega$ は正の定数である。真空の透磁率を ${\mu }_0$、真空中の光速を $c$ とし、遠方で単位立体角あたりに放射される電力は
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}|\mathbf{n}\times \ddot{\mathbf{p}}{|}^2$$
で与えられるとする（$\mathbf{n}$ は観測方向の単位ベクトル、$\ddot{\mathbf{p}}$ は $\mathbf{p}$ の時間についての 2 階微分）。

$z$ 軸の正の向きとのなす角が $\theta =\frac{\pi }{3}$ の方向について、$\frac{dP}{d\Omega }$ の 1 周期にわたる時間平均を ${\mu }_0$, $p_0$, $\omega$, $c$ を用いて表せ。

屈折率 $n_1=1$ の空気から、屈折率 $n_2=\sqrt{3}$ のガラスの平らな表面に、入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{3}$ で s 偏光（電場が入射面に垂直）の平面電磁波が入射する。空気とガラスはどちらも非磁性（透磁率は ${\mu }_0$）で吸収のない一様な媒質とし、境界面は無限に広い平面とみなす。

s 偏光の振幅透過率はフレネルの式
$$t_s=\frac{2n_1\cos {\theta }_i}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
で与えられる（${\theta }_t$ は屈折角）。境界面を通ってガラスに入るエネルギーの割合を表す強度透過率 $T_s$ を、分数で求めよ。

真空中の原点に、$z$ 軸方向を向いた電気双極子モーメント
$$\mathbf{p}(t)=p_0\cos (\omega t){\mathbf{e}}_z$$
をもつ振動双極子がある（$p_0>0$, $\omega >0$ は定数）。十分遠方（放射ゾーン）で、単位ベクトル $\mathbf{n}$ の向き（$z$ 軸とのなす角 $\theta$）へ単位立体角あたりに放射される電力は
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}{\left|\mathbf{n}\times \ddot{\mathbf{p}}\right|}^2$$
で与えられる。ここで ${\mu }_0$ は真空の透磁率、$c$ は真空中の光速である。この双極子が全方向へ放射する電力の時間平均 $⟨P⟩$ を、${\mu }_0$, $p_0$, $\omega$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中（真空の透磁率 ${\mu }_0$、真空中の光速 $c$）を $z$ 軸の正の向きに進む平面電磁波があり、その電場と磁束密度は
$$\mathbf{E}=\left(c{B}_0\cos (kz-\omega t),0,0\right),\mathbf{B}=\left(0,B_0\cos (kz-\omega t),0\right)$$
で表される。ここで $B_0$, $k$, $\omega$ は正の定数である。この電磁波の強度（ポインティングベクトルの大きさの 1 周期にわたる時間平均）を $I_0$ とする。磁束密度の振幅 $B_0$ を $I_0$, ${\mu }_0$, $c$ を用いて表せ。

真空中に、屈折率 $n=\frac{3}{2}$ の透明なガラス板が置かれている。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しないとする。単色の平面電磁波が真空側からガラス板の表面に垂直に入射し、ガラス板を通り抜けて反対側の真空へ出ていく。ガラス板の表面はどちらも平面で互いに平行であり、それぞれの境界面での反射・透過は、境界面で電場と磁場の接線成分が連続であるという境界条件から決まる。ガラス板の中での多重反射と干渉は無視し、各境界面を 1 回ずつ透過する光だけを考える。入射波の強度（ポインティングベクトルの時間平均の大きさ）に対する、ガラス板を通り抜けた透過波の強度の比を、既約分数で求めよ。

真空中を進む平行な単色の平面電磁波（光）が、静止した平らな鏡の面に入射角 $\frac{\pi }{3}$（鏡の面の法線と波の進行方向のなす角）で当たっている。入射波の強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）は $S_0$ である。鏡は完全反射体で光を吸収・透過せず、光は反射の法則に従って正反射する。真空中の光速を $c$ とする。

鏡が光から受ける、鏡の面に垂直な向きの力の、鏡の単位面積あたりの大きさ（放射圧）の時間平均を、$S_0,c$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、電荷のない真空の領域に、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ が
$$\varphi (x,y,z,t)=\beta \left(x^2-y^2\right),\mathbf{A}(x,y,z,t)=0$$
で与えられる静電場がある。ここで $\beta$ は $0$ でない実数の定数である。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で表されるとする。

このポテンシャルに、スカラー関数 $\chi (x,y,z,t)$ によるゲージ変換
$${\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t},{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi$$
を行い、すべての点・すべての時刻で ${\varphi }^{\prime }=0$ となるようにする（テンポラルゲージ）。さらに、時刻 $t=0$ にはすべての点で ${\mathbf{A}}^{\prime }=0$ であるとする。このとき、変換後のベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_x^{\prime }(x,y,z,t)$ を求めよ。

SI 単位系で、平面 $z=0$ を境に、$z<0$ が真空、$z>0$ が屈折率 $n(n>1)$ の一様な透明媒質で満たされている。媒質は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、電磁波を吸収せず、境界面に電荷や電流はないとする。

角振動数 $\omega$ の単色の平面電磁波が、真空側から境界面に垂直に入射した。測定の結果、透過波の強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）は入射波の強度の $\frac{8}{9}$ であった。

媒質の屈折率 $n$ を求めよ。

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ によって
$$\varphi (x,y,z,t)=\kappa xyt,\mathbf{A}(x,y,z,t)=\left(\alpha y,0,0\right)$$
と表されている。ここで $\alpha ,\kappa$ は $0$ でない実数の定数である。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で与えられる。

なめらかな実数値関数 $\chi (x,y,z,t)$ を用いたゲージ変換
$${\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t},{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi$$
によって、この領域のすべての点・すべての時刻で ${\varphi }^{\prime }=0$ となるようにする。ただし $\chi$ は、時刻 $t=0$ にこの領域のすべての点で $\chi =0$ を満たすものとする。

このとき、変換後のベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_x^{\prime }$ を、$\alpha ,\kappa ,x,y,z,t$ のうち必要なものを用いて求めよ。

SI 単位系で考える。平面 $z=0$ を境界として、$z<0$ の領域は屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様な透明ガラスで満たされており、$z>0$ の領域は真空（屈折率 $1$）である。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。境界面は $xy$ 平面に平行で十分に広く、境界面に電荷や電流はない。

真空中での波長が ${\lambda }_0$ の単色の平面電磁波が、ガラス側から境界面に入射角 $\frac{\pi }{3}$ で入射する。入射角は、境界面の法線（$z$ 軸）と波の進行方向のなす角である。入射面は $xz$ 平面とする。このとき全反射が起こり、真空側 $z>0$ にはエバネッセント波が生じる。その電場の振幅は、$z$ とともに $\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)$ の形で減衰する（$\delta >0$）。

振幅の減衰の長さ $\delta$ と真空中の波長 ${\lambda }_0$ の比 $\frac{\delta }{{\lambda }_0}$ を求めよ。答えは、根号と $\pi$ を用いた正確な値で表せ。

SI 単位系で、真空中（真空の透磁率 ${\mu }_0$、真空中の光速 $c$）を伝わる平面電磁波を考える。$xyz$ 直交座標系で、この電磁波の電場は
$$\mathbf{E}=\left(0,E_0\cos \left(\frac{k}{2}x+\frac{\sqrt{3}k}{2}z-\omega t\right),0\right)$$
で与えられる。ここで $E_0$, $k$, $\omega$ は正の定数で、$\omega =ck$ を満たす。また、磁場には時間に依存しない成分はないものとする。

平面 $z=0$ 上にある、原点を中心とする半径 $R$ の円板を考える。この円板を $z$ 軸の正の向きに通過する電磁場のエネルギーの、単位時間あたりの量（ポインティングベクトルの円板上での面積分）を、電磁波の 1 周期にわたって時間平均した値を、$E_0$, $R$, ${\mu }_0$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ によって
$$\varphi =0,\mathbf{A}(x,y,z,t)=\left(\alpha xt,0,0\right)$$
と表されている（$\alpha$ は $0$ でない定数）。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で与えられる。このポテンシャルにゲージ変換
$${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi ,{\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t}$$
をほどこし、変換後のポテンシャルがローレンツ条件
$$\nabla \cdot {\mathbf{A}}^{\prime }+\frac{1}{c^2}\frac{\partial {\varphi }^{\prime }}{\partial t}=0$$
を満たすようにしたい（$c$ は真空中の光速）。ゲージ関数 $\chi$ は時刻 $t$ だけの関数 $\chi (t)$ とし、$\chi (0)=0$, $\frac{d\chi }{dt}(0)=0$ を満たすものとする。変換後のスカラーポテンシャル ${\varphi }^{\prime }$ を $\alpha$, $c$, $t$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中の原点に置かれた電気双極子モーメントが
$$\mathbf{p}(t)=p_0\left(\cos \omega t,\sin \omega t,0\right)$$
のように、大きさ $p_0$ を保ったまま $xy$ 平面内を角振動数 $\omega$ で回転している（$p_0>0$, $\omega >0$ は定数）。双極子の大きさは放射の波長に比べて十分小さく、十分遠方（放射帯）では、単位方向ベクトル $\mathbf{n}$ の向きへ単位立体角あたりに放射される電力は、電気双極子近似により
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}{\left|\mathbf{n}\times \ddot{\mathbf{p}}\right|}^2$$
で与えられる（${\mu }_0$ は真空の透磁率、$c$ は真空中の光速、$\ddot{\mathbf{p}}$ は遅延時刻での $\mathbf{p}$ の 2 階時間微分）。$+z$ 軸方向（$\mathbf{n}=(0,0,1)$）への $\frac{dP}{d\Omega }$ の時間平均は、$+x$ 軸方向（$\mathbf{n}=(1,0,0)$）への $\frac{dP}{d\Omega }$ の時間平均の何倍か。

SI 単位系で、電荷も電流もない真空中に、電場が
$$\mathbf{E}(x,y,z,t)=\left(0,0,E_0\cos (qy)\cos (px-\omega t)\right)$$
で表される電磁場がある。ここで $E_0,p,q,\omega$ は正の定数であり、$\omega$ はこの電場がマクスウェル方程式を満たすように定まっている。磁場 $\mathbf{B}$ は時間的に振動する成分だけからなり、時間によらない成分は含まないものとする。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

ポインティングベクトルを $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$、電磁場のエネルギー密度を $u=\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$ とし、$S_x$ と $u$ をそれぞれ時間について 1 周期、$y$ について 1 周期（$0\le y\le 2\pi /q$）にわたって平均したものを $\overline{S_x}$、$\overline{u}$ とする。$x$ 方向のエネルギー輸送の速さ $v_E=\frac{\overline{S_x}}{\overline{u}}$ を、$p,q,c$ を用いて求めよ。

真空（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様なガラスでできた、両面が平行な平面の厚い板が置かれている。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。この板の表面に、偏光していない（自然光の）単色の平面波を入射角 $\frac{\pi }{3}$ で入射させる。

板は十分厚く、板の中で多重反射する光どうしの干渉は無視でき、板を透過する光の強度は、多重反射を繰り返して裏面から出てくる光の強度をすべて足し合わせたものとしてよい。各境界面での反射・透過はフレネルの式に従うものとする。

板を透過して裏面側に出てくる光の強度の合計は、入射光の強度の何倍か。既約分数で求めよ。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸を共通の中心軸とする半径 $a$ の導体円筒と半径 $b$ $(b>a)$ の薄い導体円筒の殻からなる、長さ $L$ の円筒コンデンサーがある。内側の円筒に電荷 $Q(Q>0)$、外側の円筒殻に電荷 $-Q$ が一様に分布している。2 つの円筒は絶縁体で互いに固定されて 1 つの剛体になっており、$z$ 軸のまわりに摩擦なく自由に回転できる。はじめコンデンサーは静止しており、外部のソレノイドによって、半径 $b$ 以内を含む領域全体に一様な磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B_0)(B_0>0)$ がかかっている。

この外部磁場をゆっくり $0$ まで減らしたところ、コンデンサーは $z$ 軸のまわりに回転し始めた。磁場が $0$ になった後のコンデンサーの角運動量の $z$ 成分を、$Q,B_0,a,b$ を用いて求めよ。ただし $L\gg b$ として端の効果は無視し、回転する電荷がつくる磁場、電磁波の放射、および重力は無視する。

SI 単位系で、真空中を点電荷 $q(q>0)$ が $x$ 軸上を正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で運動しており、時刻 $t=0$ に原点を通過する（この運動はずっと以前から続いているものとする）。$c$ は真空中の光速、${\mu }_0$ は真空の透磁率である。

この電荷がつくる電磁ポテンシャル $(\varphi ,\mathbf{A})$ を、ローレンツゲージ $\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0$ のもとで、無限遠で $0$ になる遅延ポテンシャル（リエナール・ヴィーヒェルトポテンシャル）として考える。時刻 $t=0$ における点 $\mathrm{P}(d,d,0)(d>0)$ でのベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_x$ を、${\mu }_0,c,q,d$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、内部が真空の、完全導体でできたまっすぐな長方形の中空導波管がある。管軸を $z$ 軸とし、断面は $0\le x\le a$、$0\le y\le b$（$a>b>0$）である。この導波管の中を、角振動数
$$\omega =\frac{3\pi c}{2a}$$
の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モードが $z$ 軸の正の向きに伝わっている。このモードの電場は
$$\mathbf{E}=\mathrm{Re}\left[\left(0,E_0\sin \frac{\pi x}{a},0\right)e^{i(\beta z-\omega t)}\right](E_0>0,\beta >0)$$
の形をしている。ここで $c$ は真空中の光速である。

導波管内の波長（管内波長）${\lambda }_g=\frac{2\pi }{\beta }$ を、$a$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、内部が真空の、まっすぐで十分に長い長方形の中空導波管がある。管軸を $z$ 軸とし、断面は $0\le x\le a$、$0\le y\le \frac{a}{2}$ である。管の中を、角振動数
$$\omega =\frac{3\pi c}{2a}$$
の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モードの電磁波が $z$ 軸の正の向きに伝わっている。ここで $c$ は真空中の光速、$Z_0=\sqrt{{\mu }_0/{\epsilon }_0}$ は真空の特性インピーダンスである。

管の壁は完全導体ではなく、電気伝導率が大きい非磁性の良導体でできている。この角振動数での壁の表面抵抗を $R_s=\sqrt{\frac{\omega {\mu }_0}{2\sigma }}$（$\sigma$ は壁の電気伝導率）とする。表皮深さは $a$ に比べて十分小さく、損失は小さいとして、次の近似を用いよ。

• 管内の電磁場の分布は、壁が完全導体の場合の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モードの電磁場で近似できる。
• 壁の表面に沿った磁場の複素振幅を $H_{\parallel }$ とすると、壁の単位面積あたりで消費される電力の時間平均は $\frac{1}{2}{R}_s|H_{\parallel }{|}^2$ である。

壁でのジュール損失のために、電磁場の振幅は $e^{-\alpha z}$ に比例して減衰する（伝わる電力は $e^{-2\alpha z}$ に比例する）。減衰定数 $\alpha$ を $R_s$、$Z_0$、$a$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中（真空の誘電率 ${ϵ}_0$、光速 $c$）に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様で一定の磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B)(B>0)$ がある。この中を、質量 $m$、電荷 $-e(e>0)$ の電子がらせん運動している。時刻 $t=0$ で、電子の速度と磁場のなす角（ピッチ角）は $60^{\circ }$ であった。

電子の速さは常に $c$ より十分小さく、非相対論的に扱ってよい。電子は加速度運動によって電磁波を放射し、その放射の仕事率はラーモアの公式
$$P=\frac{e^2|\mathbf{a}{|}^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}$$
で与えられる（$\mathbf{a}$ は電子の加速度）。1 周期あたりに失われるエネルギーは運動エネルギーに比べて十分小さく、各瞬間の運動はらせん運動とみなせるものとし、電子の運動エネルギーは放射されたエネルギーの分だけ減少するものとする。また、放射の反作用は速度の磁場に平行な成分を変えないものとする。重力および電子が受けるその他の力は無視する。

ピッチ角が $45^{\circ }$ になる時刻 $t$ を、${ϵ}_0,c,m,e,B$ を用いて表せ。

SI 単位系で考える。真空中を、電荷 $q(q>0)$ の点電荷が $x$ 軸上を一定の速さ $v(0<v<c)$ で $+x$ 方向に運動している。時刻 $t$ における点電荷の位置は $(vt,0,0)$ である。$c$ は真空中の光速、${ϵ}_0$ は真空の誘電率とする。

この点電荷がつくる電磁場について、出発点として、ローレンツゲージ条件を満たす遅延ポテンシャル（リエナール・ヴィーヘルトポテンシャル）$\varphi ,\mathbf{A}$ をとる。これに対して、ゲージ関数 $\chi (x,y,z,t)$ によるゲージ変換
$${\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t},{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi$$
を行い、新しいスカラーポテンシャルが点電荷の位置を除くすべての点・すべての時刻で ${\varphi }^{\prime }=0$ となる（テンポラルゲージ）ようにする。さらに $\chi$ は、点電荷の位置を除くすべての点で $\chi (x,y,z,0)=0$ を満たすものとする。

このとき、点 $(0,d,0)(d>0)$ における時刻 $t=\frac{d}{v}$ での新しいベクトルポテンシャル ${\mathbf{A}}^{\prime }$ の $y$ 成分 $A_y^{\prime }$ を、$q,d,v,c,{ϵ}_0$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空（真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、光速 $c$）中で、点電荷 $q(q>0)$ が外力によって $xy$ 平面内の原点を中心とする半径 $R$ の円周上を、一定の角速度 $\omega$ で等速円運動している。速さは $R\omega \ll c$ を満たし、放射は非相対論的な扱い（ラーモアの公式と、それに対応する放射の角度分布）で求めてよいとする。

原点から十分遠方（$r\gg c/\omega$）の放射場を考える。$z$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とする。$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{3}$ の円錐の内側へ放射される電磁波のパワーを、1 周期で時間平均した値を $q,R,\omega ,{\epsilon }_0,c$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、真空中に、平面 $z=0$ と $z=L(L>0)$ に置かれた 2 枚の十分に広い完全導体板がある。板の間（$0<z<L$）の電場が
$$\mathbf{E}(z,t)=\left(E_0\sin kz\cos \omega t,0,0\right)$$
で与えられる定在波になっている。ここで $E_0>0$ は定数、$k=\frac{\pi }{L}$、$\omega =ck$、$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$ は真空中の光速であり、${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$ はそれぞれ真空の誘電率と透磁率である。板の間に電荷や電流はなく、磁場には時間によらない一様な成分はないものとする。完全導体の内部（$z>L$ の側）では電場も磁場も $0$ である。板 $z=L$ が電磁場から受ける力の単位面積あたりの大きさを、時間について平均した値を ${\epsilon }_0$, $E_0$ を用いて表せ。

SI 単位系で、断面が $0\leqq x\leqq a$, $0\leqq y\leqq b$ の長方形で、$z$ 方向に無限に長い中空の導波管がある。壁は完全導体で、内部は真空（光速 $c$）であり、辺の長さは $b=\frac{a}{2}$ である。この導波管に角振動数
$$\omega =\frac{5\pi c}{2a}$$
の電磁波を送り込む。導波管内を $z$ 方向に減衰せずに伝わることのできるモード（${\mathrm{TE}}_{mn}$ モードと ${\mathrm{TM}}_{mn}$ モード）は全部でいくつあるか。ただし、$\mathrm{TE}$ モードと $\mathrm{TM}$ モードは別のモードとして数え、$m$, $n$ が異なるモードも別のモードとして数える。中空の導波管では $\mathrm{TEM}$ モードは存在しない。

SI 単位系で、数密度 $n$ の自由電子（質量 $m$、電荷 $-e$）と、電荷を中和する一様な正イオンからなる冷たいプラズマがある。正イオンは重いので静止しているとみなし、電子の熱運動・衝突、電子にはたらく磁場からの力は無視し、電子の運動は非相対論的に扱う。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とし、プラズマ角振動数を ${\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_{0}m}}$ とする。

このプラズマ中を、$z$ 軸の正の向きに、角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の横波の平面電磁波
$$\mathbf{E}=\left(E_0\cos (kz-\omega t),0,0\right)(E_0>0,k>0)$$
が伝わっている。電子の速度はこの電場によって生じる振動成分だけからなるものとする。

電場のエネルギー密度 $\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$、磁場のエネルギー密度 $\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$、電子の運動エネルギー密度 $\frac{1}{2}nm|\mathbf{v}{|}^2$ をそれぞれ時間平均し、それらの和を全エネルギー密度とする。全エネルギー密度のうち電子の運動エネルギー密度が占める割合を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸方向を向いた空間的に一様な磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B(t))$ がある（たとえば十分太いソレノイドの内部）。この電磁場を、対称ゲージのポテンシャル
$$\varphi =0,\mathbf{A}=\frac{B(t)}{2}\left(-y,x,0\right)$$
で表す。

時刻 $t<0$ では $B=0$ で、質量 $m$、電荷 $q(q>0)$ の荷電粒子が点 $(r_0,0,0)(r_0>0)$ に静止している。時刻 $t=0$ から磁場を増やし始め、ごく短い時間 $\Delta t$ の間に $B=B_0(B_0>0)$ にして、その後は一定に保つ。$\Delta t$ はサイクロトロン運動の周期 $2\pi m/(q{B}_0)$ に比べて十分短く、磁場が変化する間の粒子の変位は無視できるものとする。

磁場が $B_0$ で一定になった後、粒子は $xy$ 平面内で等速円運動をする。その円軌道の半径を、$r_0,m,q,B_0$ のうち必要なものを用いて求めよ。粒子の運動は非相対論的に扱い、重力と粒子の放射は無視する。

SI 単位系で、$z>0$ の空間を一様な導電性の媒質が満たしている。この媒質の誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、電気伝導率は $\sigma$ で、電流密度はオームの法則 $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$ に従う。媒質の内部では電荷密度は $0$ とする。光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

この媒質の中を、角振動数 $\omega (>0)$ の単色の平面電磁波が $z$ 軸の正の向きに進んでいる。電場は $x$ 成分だけをもち、複素表示で
$$E_x(z,t)=\mathrm{Re}\left[E_0{e}^{i(kz-\omega t)}\right]$$
と書ける（$E_0$ は定数、$k$ は複素数の波数で $\mathrm{Re}k>0$）。伝導率が $\sigma =\sqrt{3}{\epsilon }_0\omega$ であるとき、電場の振幅が $\frac{1}{e}$ 倍になるまでに波が進む距離（振幅の減衰長）を、$c$, $\omega$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸を共通の中心軸とする、半径 $a$ の導体円柱（内導体）と内半径 $b(b>a)$ の導体円筒（外導体）からなる、長さ $L$ のまっすぐな同軸ケーブルがある。内導体と外導体のあいだは真空である。ケーブルの一端には直流電源が、他端には抵抗がつながれていて、内導体の電位は外導体より $V(V>0)$ だけ高く保たれ、内導体には $z$ 軸の正の向きに、外導体には負の向きに、それぞれ大きさ $I(I>0)$ の一定の電流が流れている。

ケーブルの両端付近の場の乱れは無視し、内導体と外導体のあいだ（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）の電場と磁場は、十分長い同軸ケーブルの静的な場と同じであるとする。また、導体の抵抗は無視でき、両導体の電位はそれぞれ長さ方向に一定とみなす。真空の誘電率と透磁率を ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

電磁場の運動量密度を $\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ として、内導体と外導体のあいだの領域（$a<r<b$、長さ $L$）にある電磁場の運動量の大きさを、$V$, $I$, $L$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、管軸を $z$ 軸とし、断面が $0\le x\le a$、$0\le y\le \frac{a}{3}$ の長方形である、まっすぐで無限に長い中空導波管がある。壁は完全導体である。導波管の内部は、$z<0$ の部分が真空、$z>0$ の部分が比誘電率 ${\epsilon }_r=\frac{5}{2}$ の一様な誘電体で隙間なく満たされている。誘電体は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、損失はない。真空中の光速を $c$ とする。

$z<0$ の側から、角振動数 $\omega =\frac{\sqrt{2}\pi c}{a}$ の ${\mathrm{TE}}_{10}$ モード（電場が $y$ 成分だけをもち、その大きさが $\sin \frac{\pi x}{a}$ に比例するモード）が $+z$ 向きに進んで境界面 $z=0$ に入射する。$z>0$ の誘電体の部分には $-z$ 向きに進む波はないものとする。

入射波が運ぶ時間平均の電力に対する、$z>0$ の部分へ透過する波が運ぶ時間平均の電力の比を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、真空中に、屈折率 $n=2$ の一様な誘電体でできた厚さ $d$ の平行平板（$0\le z\le d$、$x$, $y$ 方向には十分に広い）が置かれている。誘電体は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。真空中での波長が ${\lambda }_0$ の単色の平面電磁波が、$z<0$ の側から板の表面に垂直に入射する。板の厚さは $d=\frac{{\lambda }_0}{16}$ である。

板の内部での多重反射をすべて考慮して、入射波の強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）に対する、$z>d$ の側へ透過する波の強度の比を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、真空中（真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、光速 $c$）に、質量 $m$ の 2 つの小球があり、一方は電荷 $+q(q>0)$、他方は電荷 $-q$ をもつ。2 つの小球はばね定数 $k$ の軽いばねでつながれ、$x$ 軸上だけを運動する。はじめ 2 つの小球の重心は静止しており、2 つの小球は重心に対して対称に、ばねの自然長のまわりで $x$ 軸方向に微小振動している。

2 つの小球は加速度運動するので電磁波を放射し、そのぶん振動のエネルギー（2 つの小球の運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの和）がゆっくり減っていく。次の近似を用いる。
- 小球の速さは $c$ に比べて十分小さく、振動の振幅は放射される電磁波の波長に比べて十分小さいので、放射は電気双極子放射として扱い、その全放射パワーは双極子モーメント $\mathbf{p}(t)$ を用いて $P=\frac{|\ddot{\mathbf{p}}{|}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$ で与えられる（ラーモアの公式）。
- 2 つの小球のあいだのクーロン力、重力、空気抵抗は無視する。
- 振動のエネルギーが 1 周期のあいだに失われる割合は十分小さく、エネルギーの減り方は 1 周期にわたる放射パワーの時間平均で決まるとする。

振動のエネルギーが初めの値の $\frac{1}{2}$ になるまでにかかる時間を、$q,m,k,{\epsilon }_0,c$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、電荷も電流もない一様な一軸性結晶の中を伝わる単色の平面電磁波を考える。結晶は光を吸収せず、非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$）である。結晶の光学軸を $z$ 軸にとると、電束密度 $\mathbf{D}$ と電場 $\mathbf{E}$ は
$$D_x=4{\epsilon }_0{E}_x,D_y=4{\epsilon }_0{E}_y,D_z=9{\epsilon }_0{E}_z$$
の関係で結ばれている（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。

この結晶中を、すべての場の成分が $\exp \{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)\}$ に比例する平面波が伝わる。波数ベクトル $\mathbf{k}$ は $xz$ 平面内にあり、$z$ 軸となす角は $\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ である。また、電場 $\mathbf{E}$ は $xz$ 平面内で振動している。

時間平均したポインティングベクトル $⟨\mathbf{S}⟩$ と波数ベクトル $\mathbf{k}$ のなす角を $\rho \left(0\leqq \rho <\frac{\pi }{2}\right)$ とする。$\theta$ を $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ の範囲で変えたときの $\tan \rho$ の最大値を、既約分数で求めよ。