電磁波と電磁場の問題

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ によって
$$\varphi (x,y,z,t)=\kappa x^{2}t,\mathbf{A}(x,y,z,t)=\left(\alpha x{t}^2,0,0\right)$$
と表されている。ここで $\kappa ,\alpha$ は実定数である。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$、$\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で与えられるものとする。

点 $(x,y,z)$、時刻 $t$ における電場の $x$ 成分 $E_x$ を、$\kappa ,\alpha ,x,t$ を用いて求めよ。

真空中で、電場が直交座標 $(x,y,z)$ と時刻 $t$ の関数として
$$\mathbf{E}(z,t)=(E_0\sin (kz-\omega t),0,0)$$
で与えられている。ここで $E_0$, $k$, $\omega$ は正の定数である。

マクスウェル方程式 $\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ を用いて、磁束密度 $\mathbf{B}$ の $y$ 成分 $B_y(z,t)$ を $E_0$, $k$, $\omega$, $z$, $t$ を用いて表せ。ただし、時間によらない一定の磁場は存在しないものとする。

一様な静電場を表す電磁ポテンシャルとして、直交座標 $(x,y,z)$ と時刻 $t$ を用いて
$$\varphi (x,y,z,t)=-E_{0}x,\mathbf{A}(x,y,z,t)=0$$
が与えられている。ここで $E_0$ は正の定数である。

ゲージ関数 $\chi (x,y,z,t)$ によるゲージ変換
$${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi ,{\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t}$$
を行い、すべての点・時刻で ${\varphi }^{\prime }=0$（テンポラルゲージ）となるようにする。ただし、$\chi$ は時刻 $t=0$ ですべての点で $\chi =0$ を満たすものとする。このとき、変換後のベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_x^{\prime }$ を $E_0$, $t$ を用いて表せ。

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ によって
$$\varphi (x,y,z,t)=\kappa xyt,\mathbf{A}(x,y,z,t)=\left(\alpha y,0,0\right)$$
と表されている。ここで $\alpha ,\kappa$ は $0$ でない実数の定数である。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で与えられる。

なめらかな実数値関数 $\chi (x,y,z,t)$ を用いたゲージ変換
$${\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t},{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi$$
によって、この領域のすべての点・すべての時刻で ${\varphi }^{\prime }=0$ となるようにする。ただし $\chi$ は、時刻 $t=0$ にこの領域のすべての点で $\chi =0$ を満たすものとする。

このとき、変換後のベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_x^{\prime }$ を、$\alpha ,\kappa ,x,y,z,t$ のうち必要なものを用いて求めよ。

SI 単位系で、電荷のない真空の領域に、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ が
$$\varphi (x,y,z,t)=\beta \left(x^2-y^2\right),\mathbf{A}(x,y,z,t)=0$$
で与えられる静電場がある。ここで $\beta$ は $0$ でない実数の定数である。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で表されるとする。

このポテンシャルに、スカラー関数 $\chi (x,y,z,t)$ によるゲージ変換
$${\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t},{\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi$$
を行い、すべての点・すべての時刻で ${\varphi }^{\prime }=0$ となるようにする（テンポラルゲージ）。さらに、時刻 $t=0$ にはすべての点で ${\mathbf{A}}^{\prime }=0$ であるとする。このとき、変換後のベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_x^{\prime }(x,y,z,t)$ を求めよ。