電磁波と電磁場の問題

屈折率 $n_1=1$ の空気から、屈折率 $n_2=\frac{3}{2}$ のガラスの平らな表面に、平面電磁波（光）が垂直に入射する。空気もガラスも透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、吸収はないものとする。境界では電場 $\mathbf{E}$ と磁場 $\mathbf{H}$ の接線成分がそれぞれ連続である。

この境界での強度の透過率 $T$（入射波の強度に対する透過波の強度の比）を既約分数で求めよ。

真空中に、屈折率 $n=\frac{3}{2}$ の透明なガラス板が置かれている。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しないとする。単色の平面電磁波が真空側からガラス板の表面に垂直に入射し、ガラス板を通り抜けて反対側の真空へ出ていく。ガラス板の表面はどちらも平面で互いに平行であり、それぞれの境界面での反射・透過は、境界面で電場と磁場の接線成分が連続であるという境界条件から決まる。ガラス板の中での多重反射と干渉は無視し、各境界面を 1 回ずつ透過する光だけを考える。入射波の強度（ポインティングベクトルの時間平均の大きさ）に対する、ガラス板を通り抜けた透過波の強度の比を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で考える。平面 $z=0$ を境界として、$z<0$ の領域は屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様な透明ガラスで満たされており、$z>0$ の領域は真空（屈折率 $1$）である。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。境界面は $xy$ 平面に平行で十分に広く、境界面に電荷や電流はない。

真空中での波長が ${\lambda }_0$ の単色の平面電磁波が、ガラス側から境界面に入射角 $\frac{\pi }{3}$ で入射する。入射角は、境界面の法線（$z$ 軸）と波の進行方向のなす角である。入射面は $xz$ 平面とする。このとき全反射が起こり、真空側 $z>0$ にはエバネッセント波が生じる。その電場の振幅は、$z$ とともに $\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)$ の形で減衰する（$\delta >0$）。

振幅の減衰の長さ $\delta$ と真空中の波長 ${\lambda }_0$ の比 $\frac{\delta }{{\lambda }_0}$ を求めよ。答えは、根号と $\pi$ を用いた正確な値で表せ。

SI 単位系で、平面 $z=0$ を境に、$z<0$ が真空、$z>0$ が屈折率 $n(n>1)$ の一様な透明媒質で満たされている。媒質は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、電磁波を吸収せず、境界面に電荷や電流はないとする。

角振動数 $\omega$ の単色の平面電磁波が、真空側から境界面に垂直に入射した。測定の結果、透過波の強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）は入射波の強度の $\frac{8}{9}$ であった。

媒質の屈折率 $n$ を求めよ。

真空中の原点に、$z$ 軸方向に振動する電気双極子モーメント
$$\mathbf{p}(t)=(0,0,p_0\cos \omega t)$$
がある。ここで $p_0$, $\omega$ は正の定数である。真空の透磁率を ${\mu }_0$、真空中の光速を $c$ とし、遠方で単位立体角あたりに放射される電力は
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}|\mathbf{n}\times \ddot{\mathbf{p}}{|}^2$$
で与えられるとする（$\mathbf{n}$ は観測方向の単位ベクトル、$\ddot{\mathbf{p}}$ は $\mathbf{p}$ の時間についての 2 階微分）。

$z$ 軸の正の向きとのなす角が $\theta =\frac{\pi }{3}$ の方向について、$\frac{dP}{d\Omega }$ の 1 周期にわたる時間平均を ${\mu }_0$, $p_0$, $\omega$, $c$ を用いて表せ。