境界条件と垂直入射の反射・透過

境界で $E$ ・ $H$ の接線成分が連続である条件から、垂直入射の振幅反射率 $r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ ・透過率を求め、強度の透過率 $T = \frac{n _{2}}{n _{1}} ∣ t ∣^{2}$ を計算できる

前提

ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）

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算数中学高校大学大学院

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電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
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相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）

説明

光（電磁波）が屈折率 $n_{1}$ の媒質から屈折率 $n_{2}$ の媒質へ、境界面に垂直に入射すると、一部は反射し残りは透過します。この技能では、境界で電場と磁場の接線成分がつながる条件から、反射波・透過波の電場の振幅の比（振幅反射率 $r$ ・振幅透過率 $t$ ）を求め、さらにエネルギーの流れ（強度）の割合である反射率 $R$ ・透過率 $T$ を計算します。レンズやガラス窓の表面で失われる光の量、反射防止膜の設計などの基礎になります。

なぜそうしてよいのか

ここでは磁性のない媒質（透磁率が $μ_{0}$ ）を考え、 $H = B / μ_{0}$ とします。屈折率 $n$ の媒質中の平面波は速さ $c / n$ で進み、真空のときの関係 $B = E / c$ が $B = n E / c$ に変わります。したがって磁場の大きさは $H = \frac{n}{μ _{0} c} E$ で、屈折率が大きい媒質ほど同じ $E$ に対して $H$ が大きくなります。向きは、 $E \times H$ が進行方向を向くように決まります。そのため、 $z$ の正の向きに進む波と負の向きに進む波で、 $E$ が同じ向きなら $H$ は逆向きになります。

境界面（ $z = 0$ ）の両側で、 $E$ と $H$ の境界面に平行な成分は等しくなります（表面に電荷や電流が溜まらない限り、マクスウェル方程式を境界をまたぐ細い長方形の経路で線積分すると、経路を細くした極限で接線成分の差が 0 になるためです）。垂直入射では電場も磁場も境界面に平行なので、入射波・反射波・透過波の電場の振幅を $E_{i}, E_{r}, E_{t}$ （すべて同じ $x$ 方向を正とする）とすると、
$E_{i} + E_{r} = E_{t}, n_{1} (E_{i} - E_{r}) = n_{2} E_{t}$
です（2 式目は $H$ の条件で、共通の $\frac{1}{μ _{0} c}$ を約しています。反射波は逆向きに進むので $H$ の符号が反転します）。これを解くと
$r = \frac{E _{r}}{E _{i}} = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}, t = \frac{E _{t}}{E _{i}} = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}}$
が得られます。 $n_{2} > n_{1}$ なら $r < 0$ で、反射波の電場は符号が反転（位相が $π$ ずれる）します。

強度（ポインティングベクトルの時間平均）は、媒質中では $⟨ S ⟩ = \frac{1}{2} E_{0} H_{0} = \frac{1}{2} n c ε_{0} E_{0}^{2}$ となり、屈折率 $n$ に比例します。そのため強度の透過率は振幅の比の 2 乗だけではなく、屈折率の比がかかって $T = \frac{n _{2}}{n _{1}} ∣ t ∣^{2}$ となります。反射波は入射波と同じ媒質にあるので $R = ∣ r ∣^{2}$ です。実際に計算すると $R + T = \frac{( n _{1} - n _{2} ) ^{2} + 4 n _{1} n _{2}}{( n _{1} + n _{2} ) ^{2}} = 1$ となり、エネルギーが保存していることが確かめられます。

手順

入射側の屈折率 $n_{1}$ と透過側の屈折率 $n_{2}$ を確認する（磁性のない媒質とする）
境界条件 $E_{i} + E_{r} = E_{t}$ （ $E$ の接線成分）と $n_{1} (E_{i} - E_{r}) = n_{2} E_{t}$ （ $H$ の接線成分）を立てる
連立して振幅反射率 $r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ 、振幅透過率 $t = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}}$ を求める
強度の反射率 $R = ∣ r ∣^{2}$ 、透過率 $T = \frac{n _{2}}{n _{1}} ∣ t ∣^{2}$ を計算する
$R + T = 1$ になっているかを確かめる

例題

屈折率 $1$ の空気中から屈折率 $\frac{3}{2}$ のガラスへ、平面電磁波が境界面に垂直に入射する。どちらの媒質も磁性はなく透磁率は $μ_{0}$ とし、吸収はないものとする。境界面での強度（ポインティングベクトルの時間平均）の透過率 $T$ を既約分数で求めよ。

例題の解答

手順 1: $n_{1} = 1$ 、 $n_{2} = \frac{3}{2}$ 。

手順 2: 境界条件は $E_{i} + E_{r} = E_{t}$ 、 $1 \cdot (E_{i} - E_{r}) = \frac{3}{2} E_{t}$ 。

手順 3: 2 式を辺々足すと $2 E_{i} = (1 + \frac{3}{2}) E_{t}$ なので
$t = \frac{E _{t}}{E _{i}} = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}} = \frac{2}{5/2} = \frac{4}{5}, r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}} = \frac{- 1/2}{5/2} = - \frac{1}{5}$

手順 4:
$T = \frac{n _{2}}{n _{1}} ∣ t ∣^{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{25} = \frac{24}{25}, R = ∣ r ∣^{2} = \frac{1}{25}$

手順 5: $R + T = \frac{1}{25} + \frac{24}{25} = 1$ で、エネルギーは保存している。

よって $T = \frac{24}{25}$ 。

答え: $\frac{24}{25}$

よくある誤り

強度の透過率を $T = ∣ t ∣^{2}$ としてしまう誤り。強度は $⟨ S ⟩ = \frac{1}{2} n c ε_{0} E_{0}^{2}$ で屈折率に比例するので、正しくは $T = \frac{n _{2}}{n _{1}} ∣ t ∣^{2}$ 。例題で $∣ t ∣^{2} = \frac{16}{25}$ を答えると $R + T = \frac{17}{25} \neq = 1$ となり矛盾する。
磁場の条件を $n_{1} (E_{i} + E_{r}) = n_{2} E_{t}$ としてしまう誤り。反射波は逆向きに進むので、電場が同じ向きなら磁場は逆向きになり、正しくは $n_{1} (E_{i} - E_{r}) = n_{2} E_{t}$ 。
振幅反射率の分子を $n_{2} - n_{1}$ として符号を逆にしてしまう誤り。電場を同じ向きを正にとると $r = \frac{n _{1} - n _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ で、空気からガラス（ $n_{2} > n_{1}$ ）では $r < 0$ （反射で位相が $π$ ずれる）となる。 $R = r^{2}$ には影響しないが、薄膜の干渉などで位相を考えるときに結果が変わる。
振幅透過率を $t = 1 - r$ や $t = 1 - ∣ r ∣$ としてしまう誤り。境界条件 $E_{i} + E_{r} = E_{t}$ から正しくは $t = 1 + r = \frac{2 n _{1}}{n _{1} + n _{2}}$ で、 $n_{2} < n_{1}$ のときは $t > 1$ にもなりうる（エネルギーの保存は $R + T = 1$ で表される）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
屈折率 $n_{1} = 1$ の空気から、屈折率 $n_{2} = \frac{3}{2}$ のガラスの平らな表面に、平面電磁波（光）が垂直に入射する。空気もガラスも透磁率は真空の透磁率 $μ_{0}$ に等しく、吸収はないものとする。境界では電場 $E$ と磁場 $H$ の接線成分がそれぞれ連続である。
この境界での強度の透過率 $T$ （入射波の強度に対する透過波の強度の比）を既約分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

斜め入射とフレネルの式（大学物理電磁波と電磁場）