斜め入射とフレネルの式

s 偏光・p 偏光のフレネルの式で振幅反射率・透過率を求め、断面積の変化 $\frac{cos θ _{t}}{cos θ _{i}}$ を含めた強度透過率や、多重反射をインコヒーレントに足し合わせた板全体の透過率を求められる

前提

境界条件と垂直入射の反射・透過（大学物理電磁波と電磁場）
屈折の法則と屈折率（高校物理波動）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
光の散乱・偏光・スペクトル（高校物理波動（知識））

この技能までの道筋（156 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）
回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
電流と磁界・電磁誘導の用語（中学理科物理分野の用語と知識）
磁場と磁力線（高校物理電磁気と交流（知識））
電流がつくる磁場（右ねじの法則）（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁誘導とレンツの法則・ファラデーの法則（高校物理電磁気と交流（知識））
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
横波・縦波と波の要素（高校物理波動（知識））
交流の発生と実効値（高校物理電磁気と交流（知識））
自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
帯電と電気量保存の法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
導体の静電誘導（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電流の正体と電流の向き（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））
実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
コイル・コンデンサーの交流に対するはたらき（高校物理電磁気と交流（知識））
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
境界条件と垂直入射の反射・透過（大学物理電磁波と電磁場）
屈折の法則と屈折率（高校物理波動）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折（高校物理波動（知識））
光の屈折率・全反射・分散（高校物理波動（知識））
光の散乱・偏光・スペクトル（高校物理波動（知識））

説明

光が境界面に斜めに入射するとき、反射・透過の割合は入射角と偏光の向きによって変わります。この技能では、電場が入射面（入射光と境界面の法線を含む面）に垂直な s 偏光と、入射面内にある p 偏光のそれぞれについて、フレネルの式で振幅反射率・振幅透過率を求め、そこから強度の反射率・透過率を計算します。強度透過率には光束の断面積の変化 $\frac{cos θ _{t}}{cos θ _{i}}$ が入ることに注意します。さらに、ガラス板のように 2 つの面がある場合に、板の中で何度も反射する光をすべて足し合わせて板全体の透過率を求めます。

なぜそうしてよいのか

考え方は垂直入射と同じで、境界面で $E$ と $H$ の接線成分が連続であることを使います（磁性のない媒質で、屈折率 $n$ の媒質中の平面波では $H = \frac{n}{μ _{0} c} E$ 、 $E \times H$ が進行方向）。入射角を $θ_{i}$ 、屈折角を $θ_{t}$ （ $n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}$ ）とし、反射角は $θ_{i}$ です。

s 偏光では $E$ が境界面に平行なので、そのまま $E_{i} + E_{r} = E_{t}$ 。 $H$ は入射面内にあり、その接線成分は $H cos θ$ で、反射波は進む向きが逆なので符号が変わり $n_{1} cos θ_{i} (E_{i} - E_{r}) = n_{2} cos θ_{t} E_{t}$ です。これを解くと
$r_{s} = \frac{n _{1} cos θ _{i} - n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i} + n _{2} cos θ _{t}}, t_{s} = \frac{2 n _{1} cos θ _{i}}{n _{1} cos θ _{i} + n _{2} cos θ _{t}}$
p 偏光では役割が入れかわり、 $H$ が境界面に平行で $n_{1} (E_{i} + E_{r}) = n_{2} E_{t}$ 、 $E$ の接線成分から $cos θ_{i} (E_{i} - E_{r}) = cos θ_{t} E_{t}$ となり（3 つの波の $H$ を同じ向きにとる符号の約束）、
$r_{p} = \frac{n _{2} cos θ _{i} - n _{1} cos θ _{t}}{n _{2} cos θ _{i} + n _{1} cos θ _{t}}, t_{p} = \frac{2 n _{1} cos θ _{i}}{n _{2} cos θ _{i} + n _{1} cos θ _{t}}$
です。 $r_{p}$ の符号は向きの約束で変わりますが、強度 $R_{p} = ∣ r_{p} ∣^{2}$ は変わりません。 $r_{p} = 0$ となる入射角（ $θ_{i} + θ_{t} = \frac{π}{2}$ のとき）では p 偏光は反射せず、これがブルースター角です。

強度の割合を考えるとき、比べるべきは境界面の同じ面積 $A$ を通るエネルギーです。強度（単位面積あたりの電力）は媒質中で $\frac{1}{2} n c ε_{0} E_{0}^{2}$ ですが、面積 $A$ に当たる光束の断面積は入射側で $A cos θ_{i}$ 、透過側で $A cos θ_{t}$ です。よって
$R = ∣ r ∣^{2}, T = \frac{n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i}} ∣ t ∣^{2}$
となり、どちらの偏光でも $R + T = 1$ が成り立ちます。厚い板（干渉が平均されて消える場合）では、1 面での反射率を $R$ 、透過率を $T = 1 - R$ とすると（吸収のない板では裏面でも同じ $R$ ）、板を抜ける光は $T \cdot T, T \cdot R^{2} \cdot T, T \cdot R^{4} \cdot T, \dots$ と続く無限等比級数になり、強度をそのまま足して $T_{板} = \frac{T ^{2}}{1 - R ^{2}} = \frac{1 - R}{1 + R}$ です。

手順

屈折の法則 $n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}$ から屈折角 $θ_{t}$ を求め、 $cos θ_{i}$ 、 $cos θ_{t}$ を計算する
偏光が s か p かを確認し、対応するフレネルの式で振幅反射率 $r$ ・振幅透過率 $t$ を求める（s: $r_{s} = \frac{n _{1} c o s θ _{i} - n _{2} c o s θ _{t}}{n _{1} c o s θ _{i} + n _{2} c o s θ _{t}}$ 、p: $r_{p} = \frac{n _{2} c o s θ _{i} - n _{1} c o s θ _{t}}{n _{2} c o s θ _{i} + n _{1} c o s θ _{t}}$ ）
強度反射率 $R = ∣ r ∣^{2}$ 、強度透過率 $T = \frac{n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i}} ∣ t ∣^{2}$ を計算する
$R + T = 1$ になっているかを確かめる
板全体の透過率が必要なら、多重反射の強度を等比級数で足して $T_{板} = \frac{T ^{2}}{1 - R ^{2}} = \frac{1 - R}{1 + R}$ を求める

例題

屈折率 $1$ の空気中から屈折率 $3$ のガラスの平らな表面へ、s 偏光（電場が入射面に垂直）の光が入射角 $θ_{i} = \frac{π}{3}$ で入射する。どちらの媒質も磁性はなく透磁率は $μ_{0}$ とし、吸収はないものとする。この境界面での強度透過率（境界面の同じ面積を通る透過光と入射光の電力の比） $T_{s}$ を既約分数で求めよ。

例題の解答

手順 1: $1 \cdot sin \frac{π}{3} = 3 sin θ_{t}$ より $sin θ_{t} = \frac{3 /2}{3} = \frac{1}{2}$ 、 $θ_{t} = \frac{π}{6}$ 。よって $cos θ_{i} = \frac{1}{2}$ 、 $cos θ_{t} = \frac{3}{2}$ 。

手順 2: $n_{1} cos θ_{i} = \frac{1}{2}$ 、 $n_{2} cos θ_{t} = 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ なので
$r_{s} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = - \frac{1}{2}, t_{s} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{2}$

手順 3:
$T_{s} = \frac{n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i}} ∣ t_{s} ∣^{2} = \frac{3/2}{1/2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}, R_{s} = ∣ r_{s} ∣^{2} = \frac{1}{4}$

手順 4: $R_{s} + T_{s} = 1$ となり、エネルギーは保存している。

よって $T_{s} = \frac{3}{4}$ 。（参考: この入射角では $θ_{i} + θ_{t} = \frac{π}{2}$ なので、p 偏光なら $r_{p} = 0$ で反射しない。）

答え: $\frac{3}{4}$

よくある誤り

強度透過率を垂直入射と同じ $T = \frac{n _{2}}{n _{1}} ∣ t ∣^{2}$ としてしまう誤り。斜め入射では光束の断面積が変わるので、正しくは $T = \frac{n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i}} ∣ t ∣^{2}$ 。例題で $cos$ の比を落とすと $3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ となり、 $R + T \neq = 1$ になってしまう。
s 偏光と p 偏光の式を取り違え、p 偏光に $r = \frac{n _{1} cos θ _{i} - n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i} + n _{2} cos θ _{t}}$ を使ってしまう誤り。p 偏光では $n$ と組になる $cos$ が入れかわって $r_{p} = \frac{n _{2} cos θ _{i} - n _{1} cos θ _{t}}{n _{2} cos θ _{i} + n _{1} cos θ _{t}}$ となり、ブルースター角で 0 になるのは p 偏光の方である。
厚い板の透過率を 2 面の透過率の積 $T^{2}$ だけにしてしまう誤り。板の中で 2 回反射してから出てくる光なども加わるので、正しくは $T_{板} = T^{2} (1 + R^{2} + R^{4} + \dots) = \frac{T ^{2}}{1 - R ^{2}} = \frac{1 - R}{1 + R}$ 。
多重反射を足すときに振幅 $t, r$ のまま足して、干渉が平均されて消える（インコヒーレントな）場合に $\frac{t ^{2}}{1 - r ^{2}}$ のような式を使ってしまう誤り。インコヒーレントな足し合わせでは位相がそろわないので、強度 $T, R$ を足し合わせる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
屈折率 $n_{1} = 1$ の空気から、屈折率 $n_{2} = 3$ のガラスの平らな表面に、入射角 $θ_{i} = \frac{π}{3}$ で s 偏光（電場が入射面に垂直）の平面電磁波が入射する。空気とガラスはどちらも非磁性（透磁率は $μ_{0}$ ）で吸収のない一様な媒質とし、境界面は無限に広い平面とみなす。
s 偏光の振幅透過率はフレネルの式
$t_{s} = \frac{2 n _{1} cos θ _{i}}{n _{1} cos θ _{i} + n _{2} cos θ _{t}}$
で与えられる（ $θ_{t}$ は屈折角）。境界面を通ってガラスに入るエネルギーの割合を表す強度透過率 $T_{s}$ を、分数で求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ブリュースター角と反射による偏光（大学物理光学）
全反射での位相変化（大学物理光学）