ブリュースター角と反射による偏光

p 偏光の反射率が 0 になるブリュースター角 $tan θ_{B} = n_{2} / n_{1}$ を求め、自然光（s・p 偏光の等しい強度の非干渉な重ね合わせ）を入射させたときの反射光の強度の割合や偏光度を求められる

前提

斜め入射とフレネルの式（大学物理電磁波と電磁場）
偏光の表し方とマリュスの法則（大学物理光学）

この技能までの道筋（178 技能）

算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
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素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
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三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
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三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
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和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
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回路の性質と計器の使い方（中学理科物理分野の用語と知識）
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音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
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自己誘導と相互誘導（高校物理電磁気と交流（知識））
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静電気・放電と電子（中学理科物理分野の用語と知識）
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クーロンの法則と電場・電気力線（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
電位・等電位面と電場の関係（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
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不導体の誘電分極（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量を決めるもの（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
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実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
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電力・電力量とジュール熱（高校物理電流と回路（知識））
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電気振動（高校物理電磁気と交流（知識））
電磁波の性質と種類（高校物理電磁気と交流（知識））
ガウスの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
面積分と流束（大学数学ベクトル解析）
ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
速さと平均の速さ（中学理科運動とエネルギー）
波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
広義積分（大学数学微分積分）
静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
境界条件と垂直入射の反射・透過（大学物理電磁波と電磁場）
屈折の法則と屈折率（高校物理波動）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折（高校物理波動（知識））
光の屈折率・全反射・分散（高校物理波動（知識））
光の散乱・偏光・スペクトル（高校物理波動（知識））
斜め入射とフレネルの式（大学物理電磁波と電磁場）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
偏光の表し方とマリュスの法則（大学物理光学）

説明

光が透明な物質の境界で斜めに反射するとき、入射面内で振動する p 偏光の反射率がちょうど 0 になる入射角があり、ブリュースター角 $θ_{B}$ （ $tan θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ ）と呼びます。この角度で自然光を当てると、反射光には s 偏光だけが含まれ、完全な直線偏光になります。この技能では、フレネルの式からブリュースター角を導き、自然光を入射させたときの反射光の強度の割合や偏光度を求められるようになります。偏光サングラスが水面のぎらつきを抑える理由や、レーザー管のブリュースター窓の設計を考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

屈折率 $n_{1}$ の媒質から $n_{2}$ の媒質へ入射角 $θ_{i}$ で入り、屈折角 $θ_{t}$ （ $n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}$ ）で進むとします（どちらの媒質も磁性をもたないとする）。フレネルの式による振幅反射率は
$r_{s} = \frac{n _{1} cos θ _{i} - n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i} + n _{2} cos θ _{t}}, r_{p} = \frac{n _{2} cos θ _{i} - n _{1} cos θ _{t}}{n _{2} cos θ _{i} + n _{1} cos θ _{t}}$
です（ $r_{p}$ の符号の約束は本によって異なりますが、0 になる条件は変わりません）。 $r_{p} = 0$ となるのは $n_{2} cos θ_{i} = n_{1} cos θ_{t}$ のときです。これと屈折の法則 $n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}$ を辺々掛けると $n_{1} n_{2} sin θ_{i} cos θ_{i} = n_{1} n_{2} sin θ_{t} cos θ_{t}$ 、つまり $sin 2 θ_{i} = sin 2 θ_{t}$ です。 $n_{1} \neq = n_{2}$ なら $θ_{i} \neq = θ_{t}$ なので、 $0 < θ_{i}, θ_{t} < \frac{π}{2}$ の範囲では $2 θ_{i} = π - 2 θ_{t}$ 、すなわち $θ_{i} + θ_{t} = \frac{π}{2}$ （反射光と屈折光が直交する）です。このとき $sin θ_{t} = cos θ_{i}$ なので、屈折の法則から
$n_{1} sin θ_{B} = n_{2} cos θ_{B} ⟹ tan θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$
が得られます。直観的には、屈折光に駆動されて振動する媒質中の電荷（双極子）が、振動方向にあたる向き、つまり反射光の向きには光を出せないためです。一方 $r_{s}$ は $n_{1} \neq = n_{2}$ なら 0 になりません。

自然光は、強度の等しい s 偏光と p 偏光が互いに干渉しない（インコヒーレントな）重ね合わせなので、強度 $I_{0}$ の自然光の反射光の強度は、それぞれの偏光の強度を足して $\frac{I _{0}}{2} R_{s} + \frac{I _{0}}{2} R_{p}$ です。反射光は入射光と同じ媒質を同じ角度で戻るので、強度反射率は $R_{s} = r_{s}^{2}, R_{p} = r_{p}^{2}$ です（ビームの断面積の変化は考えなくてよい）。反射光の偏光度を $P = \frac{∣ I _{s} - I _{p} ∣}{I _{s} + I _{p}}$ （ $I_{s}, I_{p}$ は反射光の s・p 成分の強度）と定めると $P = \frac{∣ R _{s} - R _{p} ∣}{R _{s} + R _{p}}$ で、ブリュースター角では $R_{p} = 0$ なので $P = 1$ （完全な s 偏光）、反射光の強度の割合は $\frac{R _{s}}{2}$ になります。

手順

入射側・透過側の屈折率 $n_{1}, n_{2}$ から、 $tan θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ でブリュースター角を求める
そのときの屈折角を $θ_{t} = \frac{π}{2} - θ_{B}$ （または屈折の法則）で求める
s 偏光のフレネルの式 $r_{s} = \frac{n _{1} cos θ _{i} - n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i} + n _{2} cos θ _{t}}$ で $R_{s} = r_{s}^{2}$ を計算する（一般の角度では $R_{p} = r_{p}^{2}$ も計算する）
自然光に対する反射光の強度の割合 $\frac{R _{s} + R _{p}}{2}$ と偏光度 $P = \frac{∣ R _{s} - R _{p} ∣}{R _{s} + R _{p}}$ を求める。ブリュースター角では $R_{p} = 0$ なので割合は $\frac{R _{s}}{2}$ 、 $P = 1$

例題

空気（屈折率 $1$ ）から屈折率 $3$ のガラスの平らな表面に、自然光（s 偏光と p 偏光が等しい強度で互いに干渉せずに重なった光）をブリュースター角で入射させた。表面で反射した光の強度は、入射光の強度の何倍かを求めよ。ガラスの裏面からの反射は考えず、振幅反射率は s 偏光について $r_{s} = \frac{n _{1} cos θ _{i} - n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i} + n _{2} cos θ _{t}}$ （ $n_{1}, n_{2}$ は入射側・透過側の屈折率、 $θ_{i}, θ_{t}$ は入射角・屈折角）で与えられるものとする。

例題の解答

手順 1: $tan θ_{B} = \frac{3}{1} = 3$ より $θ_{B} = \frac{π}{3}$ 。

手順 2: 屈折角は $θ_{t} = \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{π}{6}$ （確かめ： $1 \times sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2} = 3 sin \frac{π}{6}$ ）。

手順 3:
$r_{s} = \frac{1 \cdot cos \frac{π}{3} - 3 cos \frac{π}{6}}{1 \cdot cos \frac{π}{3} + 3 cos \frac{π}{6}} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = - \frac{1}{2}$
より $R_{s} = r_{s}^{2} = \frac{1}{4}$ 。ブリュースター角なので $R_{p} = 0$ 。

手順 4: 自然光の半分の強度が s 偏光なので、反射光の強度の割合は
$\frac{R _{s} + R _{p}}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
（反射光は完全な s 偏光で、偏光度は $1$ ）

答え: $\frac{1}{8}$

よくある誤り

ブリュースター角を $sin θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ や $sin θ_{B} = \frac{n _{1}}{n _{2}}$ としてしまう誤り（全反射の臨界角の式と混同）。正しくは反射光と屈折光が直交する条件 $θ_{B} + θ_{t} = \frac{π}{2}$ から $tan θ_{B} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ 。空気からガラス（ $n = 3$ ）なら $\frac{π}{3}$
ブリュースター角では s 偏光の反射も 0 になるとしてしまう誤り。0 になるのは p 偏光だけで、s 偏光は $n_{1} \neq = n_{2}$ なら必ず反射する。だからこそ反射光が完全な s 偏光になる（上の例では $R_{s} = \frac{1}{4}$ ）
自然光の反射率を $R_{s} + R_{p}$ としてしまう誤り。自然光の強度の半分ずつが s・p 偏光なので、正しくは $\frac{R _{s} + R _{p}}{2}$ 。上の例では $\frac{1}{4}$ ではなく $\frac{1}{8}$
ガラスから空気へ出る場合も $tan θ_{B} = \frac{n _{ガラス}}{1}$ を使ってしまう誤り。 $n_{1}$ は入射側、 $n_{2}$ は透過側の屈折率なので、ガラス（ $3$ ）から空気へなら $tan θ_{B} = \frac{1}{3}$ で $θ_{B} = \frac{π}{6}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
空気（屈折率 $n_{1} = 1$ ）から屈折率 $n_{2} = 3$ の平らなガラス面に、自然光（s 偏光と p 偏光が等しい強度で非干渉に重なった光）を入射させる。入射角をブリュースター角 $θ_{B}$ にしたとき、反射光の強度は入射光の強度の何倍か。ただし、s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$r_{s} = \frac{n _{1} cos θ _{i} - n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i} + n _{2} cos θ _{t}}$
（ $θ_{i}$ は入射角、 $θ_{t}$ は屈折角）で与えられ、強度反射率は $∣ r_{s} ∣^{2}$ であるとする。ガラスでの吸収と、ガラスの裏面からの反射は考えない。答えは分数で答えよ。

ブリュースター角と反射による偏光

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題