偏光の表し方とマリュスの法則

直交する 2 成分の振幅と位相差で直線・円・楕円偏光を表し、マリュスの法則 $I = I_{0} cos^{2} θ$ や波長板を通した後の偏光状態、偏光の楕円の軸の比を求められる

前提

光の散乱・偏光・スペクトル（高校物理波動（知識））
オイラーの公式（大学数学微分積分）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

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算数中学高校大学大学院

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核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）

説明

光の電場を、進行方向（ $z$ 軸）に垂直な $x, y$ の 2 成分に分け、それぞれの振幅と 2 成分の位相差で偏光状態（直線偏光・円偏光・楕円偏光）を表せるようになります。この表し方を使うと、偏光板を通ったあとの強度（マリュスの法則 $I = I_{0} cos^{2} θ$ ）や、波長板（2 成分の間に位相差をつける板）を通ったあとの偏光状態、電場の先端が描く楕円の軸の長さの比を計算できます。偏光顕微鏡・液晶表示・光通信などで偏光を扱うときの基本です。

なぜそうしてよいのか

$z$ 方向に進む光の、ある場所での電場を
$E_{x} = a cos ω t, E_{y} = b cos (ω t - φ) (a, b \geq 0)$
と書きます。 $φ$ は $y$ 成分の $x$ 成分に対する位相の遅れです。 $φ = 0$ または $π$ なら $E_{y} = \pm \frac{b}{a} E_{x}$ （ $a \neq = 0$ のとき）がつねに成り立ち、電場の先端は 1 本の線分上を往復する（直線偏光）。 $φ = \pm \frac{π}{2}$ なら $E_{y} = \pm b sin ω t$ なので $\frac{E _{x}^{2}}{a ^{2}} + \frac{E _{y}^{2}}{b ^{2}} = 1$ （ $a, b > 0$ ）となり、先端は $x, y$ 軸を軸とする楕円を描きます（楕円偏光、半軸の長さは $a$ と $b$ ）。とくに $a = b$ なら円です（円偏光）。それ以外の $φ$ では軸が傾いた楕円になります。オイラーの公式を使うと $E_{x} = Re (a e^{iω t}), E_{y} = Re (b e^{- i φ} e^{iω t})$ なので、偏光状態は複素数の組 $(a, b e^{- i φ})$ にまとめて書けます。

偏光板は、透過軸方向の電場成分だけを通します。振幅 $E_{0}$ の直線偏光の振動方向が透過軸と角 $θ$ をなすとき、透過軸方向の成分は $E_{0} cos θ$ で、強度は振幅の 2 乗に比例するので
$I = I_{0} cos^{2} θ (I_{0} は入射光の強度)$
となります。これがマリュスの法則です。偏光板は透過軸方向のベクトルをそのまま残し、垂直な方向のベクトルを 0 にする線形変換（射影）なので、その行列の固有値は 1（固有ベクトルは透過軸方向）と 0（垂直方向）です。

波長板は、板の中の 2 つの直交する方向（速い軸・遅い軸）で屈折率が異なるため、遅い軸方向の成分だけが位相 $Γ$ だけ余分に遅れます。そこで、入ってきた電場を速い軸・遅い軸の 2 成分に分けてから、遅い軸成分の位相を $Γ$ ずらせば出ていく光が得られます。 $Γ = \frac{π}{2}$ のものを $\frac{1}{4}$ 波長板、 $Γ = π$ のものを $\frac{1}{2}$ 波長板と呼びます。

手順

座標軸を決め（波長板があるときは速い軸を $x$ 、遅い軸を $y$ にとると楽）、電場を $E_{x} = a cos ω t, E_{y} = b cos (ω t - φ)$ の形に分けて、振幅 $a, b$ と位相差 $φ$ を読み取る。振動方向が $x$ 軸と角 $α$ の直線偏光なら $a = E_{0} ∣ cos α ∣, b = E_{0} ∣ sin α ∣$
波長板を通るときは、遅い軸成分の位相の遅れに $Γ$ を加える： $φ \to φ + Γ$ （振幅 $a, b$ は変わらない）
偏光状態を判定する。 $φ = 0, π$ なら直線偏光、 $φ = \pm \frac{π}{2}$ なら軸が $x, y$ 方向の楕円偏光で軸の比は $\frac{min ( a , b )}{max ( a , b )}$ （ $a = b$ なら円偏光）
偏光板を通るときは、直線偏光なら振動方向と透過軸のなす角 $θ$ を求めて $I = I_{0} cos^{2} θ$ 。一般には透過軸方向の成分を取り出してその振幅の 2 乗（の時間平均）から強度を求める

例題

振動方向が $x$ 軸と $\frac{π}{6}$ の角をなす直線偏光の光が、 $z$ 軸方向に進んで、速い軸を $x$ 軸、遅い軸を $y$ 軸に合わせた $\frac{1}{4}$ 波長板（遅い軸方向の成分の位相を速い軸方向の成分より $\frac{π}{2}$ だけ遅らせる板）を通る。波長板を通ったあとの光の電場の先端が描く楕円について、短軸の長さと長軸の長さの比 $\frac{( 短軸の長さ )}{( 長軸の長さ )}$ を求めよ。

例題の解答

手順 1: 入射光の振幅を $E_{0}$ とすると、 $x$ 成分の振幅は $a = E_{0} cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2} E_{0}$ 、 $y$ 成分の振幅は $b = E_{0} sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} E_{0}$ で、直線偏光なので位相差は $φ = 0$ 。

手順 2: $\frac{1}{4}$ 波長板で遅い軸（ $y$ ）成分が $\frac{π}{2}$ 遅れるので $φ = \frac{π}{2}$ 。出ていく光は
$E_{x} = \frac{3}{2} E_{0} cos ω t, E_{y} = \frac{1}{2} E_{0} cos (ω t - \frac{π}{2}) = \frac{1}{2} E_{0} sin ω t$

手順 3: $φ = \frac{π}{2}$ なので
$\frac{E _{x}^{2}}{( \frac{3}{2} E _{0} ) ^{2}} + \frac{E _{y}^{2}}{( \frac{1}{2} E _{0} ) ^{2}} = 1$
となり、 $x, y$ 軸を軸とする楕円偏光である。長軸方向の半径は $\frac{3}{2} E_{0}$ 、短軸方向の半径は $\frac{1}{2} E_{0}$ なので、軸の長さの比は
$\frac{\frac{1}{2} E _{0}}{\frac{3}{2} E _{0}} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$

答え: $\frac{3}{3}$

よくある誤り

マリュスの法則を $I = I_{0} cos θ$ としてしまう誤り。偏光板が残すのは電場（振幅）の $cos θ$ 倍で、強度は振幅の 2 乗に比例するので正しくは $I = I_{0} cos^{2} θ$ 。例えば $θ = \frac{π}{3}$ なら $\frac{I _{0}}{4}$ （ $\frac{I _{0}}{2}$ ではない）
偏光していない（自然）光にもマリュスの法則をそのまま使ってしまう誤り。自然光は振動方向がでたらめなので $cos^{2} θ$ を平均して $\frac{1}{2}$ となり、理想的な偏光板を通った強度は向きによらず $\frac{I _{0}}{2}$
位相差が $\frac{π}{2}$ ならつねに円偏光になるとしてしまう誤り。円偏光になるのは振幅が等しい $a = b$ のときだけで、 $a \neq = b$ なら軸の比 $\frac{min ( a , b )}{max ( a , b )}$ の楕円偏光。例えば振動方向が速い軸と $\frac{π}{4}$ をなす直線偏光を $\frac{1}{4}$ 波長板に通すと円偏光、 $\frac{π}{6}$ なら軸の比 $\frac{3}{3}$ の楕円偏光
$\frac{1}{2}$ 波長板も直線偏光を楕円偏光に変えるとしてしまう誤り。 $Γ = π$ では $φ = 0 \to π$ となり $E_{y} = - \frac{b}{a} E_{x}$ なので直線偏光のまま。振動方向が速い軸と角 $α$ をなす直線偏光は、速い軸の反対側の角 $α$ （ $- α$ ）の向きの直線偏光になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
強度 $I_{0}$ の自然光（偏光していない光）を、理想的な 3 枚の偏光板 $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ にこの順に垂直に通す。光の進む向きから見て、 $P_{2}$ の透過軸は $P_{1}$ の透過軸から $3 0^{\circ}$ 、 $P_{3}$ の透過軸は $P_{1}$ の透過軸から $9 0^{\circ}$ だけ同じ向きに回転している。理想的な偏光板は、透過軸に平行な電場の成分をすべて通し、垂直な成分をすべて吸収するものとする（反射は無視する）。 $P_{3}$ を通過した光の強度を $I$ とするとき、 $\frac{I}{I _{0}}$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ブリュースター角と反射による偏光（大学物理光学）
全反射での位相変化（大学物理光学）