全反射での位相変化

臨界角を超える入射でフレネルの式を複素数に拡張し、s・p 偏光の反射での位相のずれとその差を求め、反射光の偏光状態（楕円の軸の比など）を求められる

前提

斜め入射とフレネルの式（大学物理電磁波と電磁場）
偏光の表し方とマリュスの法則（大学物理光学）
全反射と臨界角（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
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正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
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文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
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3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
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多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
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加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
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重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
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ガウスの法則による電場（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
ベクトル場の線積分（大学数学ベクトル解析）
電流がつくる磁場と磁場の合成（高校物理電磁気と交流）
アンペールの法則と重ね合わせ（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
抵抗の直列接続・並列接続（高校物理電流と回路（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
磁束と電磁誘導の法則（高校物理電磁気と交流）
磁束の積分と電磁誘導（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
マクスウェル方程式の微分形（大学物理電磁波と電磁場）
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波の要素と波の基本式（高校物理波動）
正弦波の式（高校物理波動）
ベクトル解析の恒等式と積の公式（大学数学ベクトル解析）
真空中の平面電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
保存場とポテンシャル（大学数学ベクトル解析）
電場の線積分と電位差（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
クーロンの法則（高校物理電場と電位・コンデンサー）
点電荷のつくる電場（高校物理電場と電位・コンデンサー）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
一様な電場と電位差（高校物理電場と電位・コンデンサー）
電池につないだまま・切り離したコンデンサーの変化（高校物理電場と電位・コンデンサー（知識））
コンデンサーの電気容量と電気量（高校物理電場と電位・コンデンサー）
コンデンサーの静電エネルギー（高校物理電場と電位・コンデンサー）
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静電場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
オームの法則（中学理科電流と電圧）
電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
境界条件と垂直入射の反射・透過（大学物理電磁波と電磁場）
屈折の法則と屈折率（高校物理波動）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
ホイヘンスの原理と反射・屈折・回折（高校物理波動（知識））
光の屈折率・全反射・分散（高校物理波動（知識））
光の散乱・偏光・スペクトル（高校物理波動（知識））
斜め入射とフレネルの式（大学物理電磁波と電磁場）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
偏光の表し方とマリュスの法則（大学物理光学）
全反射と臨界角（高校物理波動）

説明

屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ、臨界角より大きい入射角で光が当たると、光はすべて反射します（全反射）。このとき反射光の強さは入射光と同じですが、位相はずれ、そのずれ方は s 偏光と p 偏光で違います。この技能では、フレネルの式を複素数に広げてそれぞれの位相のずれ $δ_{s}, δ_{p}$ とその差 $Δ = δ_{p} - δ_{s}$ を求め、直線偏光が全反射で楕円偏光に変わるときの楕円の形（軸の比など）を求めます。フレネルの菱面体のように、全反射を使って偏光状態を変える素子を考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

媒質 1（屈折率 $n_{1}$ ）から媒質 2（屈折率 $n_{2} < n_{1}$ ）へ入射角 $θ$ で入射するとします。屈折の法則 $n_{1} sin θ = n_{2} sin θ_{t}$ をそのまま使うと、 $θ > θ_{c}$ では $sin θ_{t} = \frac{n _{1} sin θ}{n _{2}} > 1$ となり、実数の角 $θ_{t}$ は存在しません。それでも境界条件（接線成分の連続）は満たさなければならないので、 $cos θ_{t} = 1 - sin^{2} θ_{t}$ を複素数として扱います。 $1 - sin^{2} θ_{t} < 0$ なので $cos θ_{t}$ は純虚数で、
$n_{2} cos θ_{t} = \pm i n_{1}^{2} sin^{2} θ - n_{2}^{2}$
となります。電場を $e^{i (k \cdot r - ω t)}$ で表すと、媒質 2 の中の波は境界から離れる向き（ $z > 0$ とする）に $exp (i \frac{ω}{c} n_{2} cos θ_{t} z)$ の因子をもちます。この因子が $z \to \infty$ で発散しない（境界から離れるほど減衰する、いわゆるエバネッセント波になる）ように、符号は $+$ を選びます。以下 $a = n_{1} cos θ > 0$ 、 $b = n_{1}^{2} sin^{2} θ - n_{2}^{2} > 0$ とおき、 $n_{2} cos θ_{t} = ib$ とします。

これを s 偏光のフレネルの式 $r_{s} = \frac{n _{1} cos θ - n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ + n _{2} cos θ _{t}}$ に入れると $r_{s} = \frac{a - ib}{a + ib}$ です。分子と分母は互いに共役な複素数なので絶対値が等しく、 $∣ r_{s} ∣ = 1$ 、つまり全部反射されることが式からも確かめられます。 $a + ib = a^{2} + b^{2} e^{i φ}$ （ $tan φ = b / a$ 、 $0 < φ < π /2$ ）と書けば $r_{s} = e^{- 2 i φ}$ となり、反射で位相が $δ_{s} = 2 φ$ だけずれます。p 偏光はこのページでは $r_{p} = \frac{n _{2} cos θ - n _{1} cos θ _{t}}{n _{2} cos θ + n _{1} cos θ _{t}}$ の形の式を使います（垂直入射では $r_{p} = \frac{n _{2} - n _{1}}{n _{2} + n _{1}}$ で、 $r_{s}$ と符号が逆になる形）。 $n_{1} cos θ_{t} = \frac{n _{1}}{n _{2}} ib$ を入れると分子と分母がやはり共役になり、 $∣ r_{p} ∣ = 1$ 、位相のずれは $tan \frac{δ _{p}}{2} = \frac{n _{1} b}{n _{2}^{2} cos θ}$ です。 $n = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ を使って書き直すと
$tan \frac{δ _{s}}{2} = \frac{sin ^{2} θ - n ^{2}}{cos θ}, tan \frac{δ _{p}}{2} = \frac{sin ^{2} θ - n ^{2}}{n ^{2} cos θ}$
となります（ $0 \leq δ_{s}, δ_{p} < π$ ）。 $θ = θ_{c}$ では $sin θ = n$ なのでどちらも $0$ 、 $θ \to π /2$ ではどちらも $π$ に近づきます。 $n < 1$ なので途中では $δ_{p} > δ_{s}$ です。

2 つの位相のずれが違うので、s・p 両方の成分をもつ直線偏光を入れると、反射光では 2 成分の間に位相差 $Δ = δ_{p} - δ_{s}$ が生じ、一般に楕円偏光になります（振幅は両成分とも変わりません）。加法定理 $tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}$ で整理すると
$tan \frac{Δ}{2} = \frac{cos θ sin ^{2} θ - n ^{2}}{sin ^{2} θ}$
が得られ、 $Δ$ を直接求めることもできます。この右辺の最大値は $\frac{1 - n ^{2}}{2 n}$ なので、 $Δ$ が $\frac{π}{2}$ を超えうるのは $\frac{1 - n ^{2}}{2 n} > 1$ 、つまり $n < 2 - 1 \approx 0.414$ と屈折率の比が小さいときだけです。

手順

全反射が起きているか確かめる: $n = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ として $sin θ > n$ （ $θ > θ_{c}$ ）であることを確認する。
$sin^{2} θ - n^{2}$ と $cos θ$ を計算する（ $n_{2} cos θ_{t}$ を減衰する側の虚数 $i n_{1}^{2} sin^{2} θ - n_{2}^{2}$ に置き換えたことに当たる）。
s 偏光の位相のずれを $tan \frac{δ _{s}}{2} = \frac{sin ^{2} θ - n ^{2}}{cos θ}$ 、p 偏光の位相のずれを $tan \frac{δ _{p}}{2} = \frac{sin ^{2} θ - n ^{2}}{n ^{2} cos θ}$ から求める（ $0 \leq δ < π$ ）。
位相差 $Δ = δ_{p} - δ_{s}$ を求める。加法定理を使うか、 $tan \frac{Δ}{2} = \frac{cos θ sin ^{2} θ - n ^{2}}{sin ^{2} θ}$ を使う。
反射光の偏光状態を求める: 振幅は s・p とも入射時のまま、成分間の位相差が $Δ$ だけ変わったとして楕円を求める。例えば s・p の振幅が等しい直線偏光を入れたとき、反射光は軸が s・p 方向から $\frac{π}{4}$ 傾いた楕円で、短軸と長軸の比は $0 < Δ \leq \frac{π}{2}$ なら $tan \frac{Δ}{2}$ 、 $\frac{π}{2} < Δ < π$ なら $\frac{1}{tan ( Δ/2 )} = tan \frac{π - Δ}{2}$ （ $Δ = \frac{π}{2}$ なら円偏光）。

例題

屈折率 $2$ のガラスから屈折率 $1$ の空気への平らな境界に、ガラス側から入射角 $θ = \frac{π}{3}$ で光が入射する。反射での s 偏光・p 偏光の位相のずれ $δ_{s}, δ_{p}$ を $tan \frac{δ _{s}}{2} = \frac{sin ^{2} θ - n ^{2}}{cos θ}$ 、 $tan \frac{δ _{p}}{2} = \frac{sin ^{2} θ - n ^{2}}{n ^{2} cos θ}$ （ $n$ は相対屈折率 $\frac{n _{2}}{n _{1}}$ 、 $0 \leq δ_{s}, δ_{p} < π$ ）で定めるとき、位相差 $Δ = δ_{p} - δ_{s}$ を求めよ。ただし答えは逆正接関数 $arctan$ （値は $- \frac{π}{2}$ より大きく $\frac{π}{2}$ より小さい）を使って表せ。

例題の解答

【手順 1】 $n = \frac{1}{2}$ なので $n^{2} = \frac{1}{2}$ 。 $sin^{2} θ = \frac{3}{4} > \frac{1}{2} = n^{2}$ だから $sin θ > n$ で、全反射が起きている（臨界角は $π /4$ ）。

【手順 2】 $sin^{2} θ - n^{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ 、 $cos θ = \frac{1}{2}$ 。

【手順 3】 $tan \frac{δ _{s}}{2} = \frac{1/2}{1/2} = 1$ より $\frac{δ _{s}}{2} = \frac{π}{4}$ 、 $δ_{s} = \frac{π}{2}$ 。
$tan \frac{δ _{p}}{2} = \frac{1/2}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 2$ より $\frac{δ _{p}}{2} = arctan 2$ 。

【手順 4】 $tan \frac{Δ}{2} = tan (\frac{δ _{p}}{2} - \frac{δ _{s}}{2}) = \frac{2 - 1}{1 + 2 \cdot 1} = \frac{1}{3}$ 。
（公式 $tan \frac{Δ}{2} = \frac{cos θ sin ^{2} θ - n ^{2}}{sin ^{2} θ} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$ でも同じ。）
$\frac{π}{4} < \frac{δ _{p}}{2} < \frac{π}{2}$ より $0 < \frac{Δ}{2} < \frac{π}{4}$ なので、2 倍角の公式より
$tan Δ = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{3}{4}$
で、 $0 < Δ < \frac{π}{2}$ だから $Δ = arctan \frac{3}{4}$ 。

【手順 5（参考）】 $Δ < \frac{π}{2}$ なので、s・p の振幅が等しい直線偏光をこの角度で入射させると、反射光は短軸と長軸の比が $tan \frac{Δ}{2} = \frac{1}{3}$ の楕円偏光になる。

答え: $arctan \frac{3}{4}$

よくある誤り

全反射でも $cos θ_{t}$ を実数のまま $1 - sin^{2} θ_{t}$ と計算しようとして行き詰まる、または $∣ r_{s} ∣ < 1$ のような値を出してしまう誤り。正しくは $sin θ_{t} > 1$ なので $n_{2} cos θ_{t} = i n_{1}^{2} sin^{2} θ - n_{2}^{2}$ と純虚数になり、 $r_{s} = \frac{a - ib}{a + ib}$ から $∣ r_{s} ∣ = ∣ r_{p} ∣ = 1$ になる。
$n_{2} cos θ_{t}$ の虚数の符号を適当に選んでしまう誤り。 $- i \dots$ を選ぶと媒質 2 の中の波が $exp (+ \frac{ω}{c} n_{1}^{2} sin^{2} θ - n_{2}^{2} z)$ と境界から離れるほど大きくなり、物理的にありえない。正しくは減衰する側の $n_{2} cos θ_{t} = + i n_{1}^{2} sin^{2} θ - n_{2}^{2}$ を選ぶ。
位相のずれの公式で $tan δ$ と $tan \frac{δ}{2}$ を取り違える誤り。 $r_{s} = \frac{a - ib}{a + ib} = e^{- 2 i φ}$ （ $tan φ = b / a$ ）なので、 $\frac{b}{a}$ に等しいのは $tan \frac{δ _{s}}{2}$ であって $tan δ_{s}$ ではない。
p 偏光の式で $n^{2}$ を落として $tan \frac{δ _{p}}{2} = \frac{sin ^{2} θ - n ^{2}}{cos θ}$ としてしまい、 $Δ = 0$ （偏光が変わらない）と結論する誤り。正しくは $tan \frac{δ _{p}}{2} = \frac{sin ^{2} θ - n ^{2}}{n ^{2} cos θ}$ で、 $n < 1$ なので $δ_{p} > δ_{s}$ となり、 $θ_{c} < θ < \frac{π}{2}$ では $Δ > 0$ 。なお本文の $r_{p}$ は垂直入射で $r_{s}$ と符号が逆になる形である。 $r_{p}$ を $- 1$ 倍した別の規約を使う本では $δ_{p}$ が $π$ だけ違って見えるので、本文の $tan \frac{δ _{p}}{2}$ の式は本文の $r_{p}$ とセットで使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
屈折率 $n_{1} = 2$ のガラスの中から、屈折率 $n_{2} = 1$ の空気との平らな境界面に、s 偏光の光が入射角 $θ_{i} = \frac{π}{3}$ で入射する。s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$r_{s} = \frac{n _{1} cos θ _{i} - n _{2} cos θ _{t}}{n _{1} cos θ _{i} + n _{2} cos θ _{t}}$
で与えられ（ $θ_{t}$ は屈折角）、臨界角を超える入射では屈折の法則 $n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{t}$ を満たす $cos θ_{t}$ を
$n_{2} cos θ_{t} = i n_{1}^{2} sin^{2} θ_{i} - n_{2}^{2}$
ととる（ $i$ は虚数単位）。このとき $r_{s} = e^{i δ_{s}}$ と表される。反射による位相の変化 $δ_{s}$ を $- π < δ_{s} \leq π$ の範囲で求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（期末試験の応用レベル）
屈折率 $n = 2$ の一様で等方的な透明ガラス（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の中から、ガラスと空気（屈折率 $1$ ）の平らな境界面に、単色の平面波を入射角 $θ = \frac{π}{3}$ で入射させる。入射光は直線偏光で、その電場の振動方向は入射面と $\frac{π}{4}$ の角をなしている（すなわち、p 偏光成分と s 偏光成分の振幅が等しく、位相もそろっている）。
反射光は一般に楕円偏光になる。反射光の偏光の楕円の短軸の長さを長軸の長さで割った比を、既約分数で求めよ。ただし、境界面での反射・透過はフレネルの式に従うものとする。