屈折の法則と屈折率

空気中を進む光が、平らな境界面から透明な媒質に入射する。入射角は $60^{\circ }$、屈折角は $30^{\circ }$ であった。空気中での光の波長は $6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ である。空気の屈折率を $1.0$ とする。媒質中での光の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。必要なら $\sqrt{3}=1.73$ を用いよ。

空気中から平らなガラスの表面上の点 O に、光を入射角 $60^{\circ }$ で入射させたところ、屈折角は $30^{\circ }$ であった。空気の屈折率を $1$、空気中の光の速さを $3.0\times 10^{8}m/s$ とする。このガラスの中を進む光の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。必要なら $\sqrt{3}=1.73$ を用いよ。

空気中を進む光が、水平で平らな水面上の点 $\mathrm{O}$ に入射角 $30^{\circ }$ で入射し、水中へ屈折して進んだ。空気の屈折率を $1$、水の屈折率を $\frac{4}{3}$ とする。屈折角を $\theta$ とするとき、$\sin \theta$ の値を求めよ。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射させる。入射角は、p 偏光（入射面内に電場が振動する成分）の反射率が $0$ となるブリュースター角に選ぶ。このとき、入射光のエネルギー（強度）のうち反射される割合を、正確な値（分数）で求めよ。ただし、自然光は互いに強度の等しい s 偏光と p 偏光の非干渉な重ね合わせとみなし、反射率はフレネルの式で与えられるものとする。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\sqrt{2}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、s 偏光（電場が入射面に垂直に振動する）の単色平面波を入射角 $\frac{\pi }{4}$ で入射させる。境界面での強度反射率 $R_s$（入射光の強度に対する反射光の強度の比）を、根号を含む正確な値で求めよ。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\sqrt{2}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{4}$ で入射させる。

反射光の強度のうち、s 偏光成分（電場が入射面に垂直）の強度を $I_s$、p 偏光成分（電場が入射面内）の強度を $I_p$ とし、反射光の偏光度を
$$P=\frac{I_s-I_p}{I_s+I_p}$$
で定義する。$P$ の値を求めよ。ただし、自然光は s 偏光成分と p 偏光成分を等しい強度で含み、両者は互いにインコヒーレントであるとする。

地上から電離層に向けて電波を斜めに送り、電離層で反射させて遠くと通信する。電離層を、高さ $z$ だけに依存する電子密度 $n(z)$ をもつ水平な層状の冷たいプラズマとみなす。$n(z)$ は電離層の下端（$n=0$）から上へ向かって単調に増え、最大値 $n_{\max }=1.0\times 10^{12}{\text{m}}^{-3}$ に達する。電離層より下は真空とみなす。

地磁気・衝突・イオンの運動・地球の曲率は無視し、角振動数 $\omega$ の電磁波に対するプラズマの屈折率は
$$N=\sqrt{1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}},{\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$
で与えられるものとする。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{F/m}$ とし、$\pi =3.14$ とする。

電波を鉛直方向と $60^{\circ }$ の角をなす向きに入射させるとき、電離層で反射されて地上に戻る電波の周波数 $f=\omega /(2\pi )$ の最大値は何 $\text{MHz}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

SI 単位系で考える。平面 $z=0$ を境界として、$z<0$ の領域は屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様な透明ガラスで満たされており、$z>0$ の領域は真空（屈折率 $1$）である。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。境界面は $xy$ 平面に平行で十分に広く、境界面に電荷や電流はない。

真空中での波長が ${\lambda }_0$ の単色の平面電磁波が、ガラス側から境界面に入射角 $\frac{\pi }{3}$ で入射する。入射角は、境界面の法線（$z$ 軸）と波の進行方向のなす角である。入射面は $xz$ 平面とする。このとき全反射が起こり、真空側 $z>0$ にはエバネッセント波が生じる。その電場の振幅は、$z$ とともに $\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)$ の形で減衰する（$\delta >0$）。

振幅の減衰の長さ $\delta$ と真空中の波長 ${\lambda }_0$ の比 $\frac{\delta }{{\lambda }_0}$ を求めよ。答えは、根号と $\pi$ を用いた正確な値で表せ。

屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様で等方的な透明ガラス（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の内部から、ガラスと空気（屈折率 $1$）の平らな境界面に、偏光していない（自然光の）単色平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{6}$ で入射させる。p 偏光は入射面内に電場が振動する成分、s 偏光は入射面に垂直に電場が振動する成分とし、自然光は互いにインコヒーレントで強度の等しい p 偏光成分と s 偏光成分からなるとする。空気中へ透過した光のうち、p 偏光成分の強度を $I_p$、s 偏光成分の強度を $I_s$ とする。透過光の偏光度を $P=\frac{|I_p-I_s|}{I_p+I_s}$ で定義するとき、$P$ の値を既約分数で求めよ。ただし、フレネルの式を用い、各偏光成分について境界面での吸収はなく、エネルギー（パワー）は反射光と透過光に分かれるだけであるとする。

屈折率 $1$ の空気中から、屈折率 $n=\frac{\sqrt{6}}{2}$ の一様で等方的な透明媒質（吸収なし、透磁率は真空と同じ）の平らな表面に、単色の直線偏光の平面波を入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{3}$ で入射させる。入射光の p 偏光成分（入射面内に電場が振動する成分）と s 偏光成分（入射面に垂直に電場が振動する成分）の振幅は等しく、位相もそろっている。

反射光も直線偏光になる。反射光の電場の p 成分の振幅の大きさを $|E_p^{\mathrm{r}}|$、s 成分の振幅の大きさを $|E_s^{\mathrm{r}}|$ とし、反射光の電場の振動方向と「入射面内にあって反射光の進行方向に垂直な方向（p 方向）」とのなす角 $\psi$ $\left(0\le \psi \le \frac{\pi }{2}\right)$ を
$$\tan \psi =\frac{|E_s^{\mathrm{r}}|}{|E_p^{\mathrm{r}}|}$$
で定める。$\psi$ を弧度法で求めよ。ただし、振幅反射率はフレネルの式で与えられるものとする。

広い水そうに水を深さ $0.60\mathrm{m}$ まで入れ、底に小さな点光源 $\mathrm{L}$ を置いた。水面は水平で静止している。$\mathrm{L}$ の真上の水面に、うすい円板を、その中心が $\mathrm{L}$ の真上にくるように浮かべる。円板は光を通さない。

水面より上のどの位置から見ても、$\mathrm{L}$ から出た光が水面から空気中へ出てこないようにしたい。そのために必要な円板の半径の最小値は何 $\mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、水の屈折率を $\frac{4}{3}$、空気の屈折率を $1$ とし、円板の厚さと、水そうの壁や底での光の反射は無視する。必要なら $\sqrt{7}=2.65$ を用いよ。

真空（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様なガラスでできた、両面が平行な平面の厚い板が置かれている。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。この板の表面に、偏光していない（自然光の）単色の平面波を入射角 $\frac{\pi }{3}$ で入射させる。

板は十分厚く、板の中で多重反射する光どうしの干渉は無視でき、板を透過する光の強度は、多重反射を繰り返して裏面から出てくる光の強度をすべて足し合わせたものとしてよい。各境界面での反射・透過はフレネルの式に従うものとする。

板を透過して裏面側に出てくる光の強度の合計は、入射光の強度の何倍か。既約分数で求めよ。