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レンズの式と像

凸レンズ・凹レンズについて と倍率 を使い、像の位置・大きさ・実像か虚像かを求められる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  25. 屈折の法則と屈折率 （高校物理 波動）

説明

物体を薄いレンズの前に置いたとき、像がどこにできるかを計算で決められるようになります。像の大きさ、実像か虚像か、倒立か正立かも決まります。使うのは、物体からレンズまでの距離 、レンズから像までの距離 、焦点距離 の関係 と、倍率 の 2 つです。カメラ、虫めがね、眼鏡、顕微鏡など、レンズを使う装置の問題で使います。

なぜそうしてよいのか

【レンズと焦点】レンズは、ガラスの面で光が屈折する性質を利用した道具です。凸レンズは中央が厚いレンズです。光はレンズに入るときと出るときの 2 回、屈折の法則 に従って厚い側（中央側）へ曲がります。光軸（レンズの中心を垂直に貫く直線）に近い光だけを考えると、光軸から離れた位置を通る光ほど大きく曲がります。そのため、光軸に平行に入った光はレンズの後方の 1 点 に集まります。この点が焦点で、レンズから焦点までの距離が焦点距離 です。凹レンズは中央が薄く、光は縁の側へ曲がります。光軸に平行に入った光は広がって進み、その光を逆向きに延ばした線は物体側の点 に集まります。この点が凹レンズの焦点です。どちらのレンズでも、中心付近は両面がほぼ平行な薄い板と同じなので、中心を通る光はほぼまっすぐ進みます（レンズは薄いとします）。

【像の種類】レンズを通った光が実際に 1 点に集まってできる像を実像といいます。実像はスクリーンに映せます。光は実際には集まらないものの、レンズを出た光を逆向きに延ばした線が 1 点に集まり、そこから光が出ているように見える像を虚像といいます。虚像はスクリーンに映らず、レンズをのぞくと見えます。物体と上下が逆向きの像を倒立、同じ向きの像を正立といいます。

【3 つの場合の導出】以下では、高さ の物体をレンズの前方、距離 の位置に光軸に垂直に立てます。物体の先端から出る 2 本の光で、像の先端の位置（像の高さ ）を求めます。
(1) 凸レンズで、像がレンズの後方の距離 にできる場合。中心を通る光はまっすぐ進むので、物体側と像側の直角三角形は相似です。よって が成り立ちます。光軸に平行に進む光は、レンズ上の高さ の点で曲がって を通ります。「レンズ上のその点・レンズの中心・」の三角形（2 辺は と ）と、「像の先端・像の根もと・」の三角形（2 辺は と ）は相似です。よって です。2 式から 、つまり となります。両辺を で割ると が得られます。このとき光は実際に像の先端に集まるので実像です。中心を通る光は光軸上の中心を越えて反対側へ進むので、物体の先端が光軸より上なら像の先端は下にきます。つまり倒立です。
(2) 凸レンズで の場合。レンズを出た光は集まらずに広がります。そこで、その光を逆向きに延ばした線が物体側の距離 で交わる点を像の先端とします（ は正の長さ）。中心を通る光の延長線から が成り立ちます。 を通る光の延長線については、「レンズ上の点・中心・」の三角形（ と ）と、「像の先端・像の根もと・」の三角形（ と ）が相似です。よって です。2 式から となり、 ではなく で割ると です。これは とおけば と同じ形です。
(3) 凹レンズ（焦点距離を正の長さ とする）の場合。像は物体側の距離 にでき、中心を通る光から が成り立ちます。平行光の延長線は物体側の を通ります。像は とレンズの間にできるので、「レンズ上の点・中心・」の三角形（ と ）と、「像の先端・像の根もと・」の三角形（ と ）が相似です。よって です。2 式から となり、 で割ると です。これは 、 とおけば と同じ形です。

(2)(3) の像は、延長線が集まって見えるだけなので虚像です。また、像の先端は物体側で中心を通る直線上にあり、中心より手前にあるので、物体の先端と同じく光軸より上にきます。つまり正立です。まとめると、「物体側にできる像は 」「凹レンズは 」と符号を決めれば、1 本の式で全部の場合を扱えます。さらに、 なら実像で倒立、 なら虚像で正立と、 の符号だけで像の種類が決まります。倍率は大きさの比 なので、どの場合も です。

手順

  1. 符号を決めて値を代入する準備をする：物体までの距離は とする。凸レンズは 、凹レンズは とする（焦点距離 の凹レンズなら ）

  2. レンズの式を について解く： を計算し、最後に逆数をとって を求める

  3. の符号で像の種類を判定する： なら、レンズの後方（物体と反対側）の距離 の位置に実像ができる。光が中心を通って光軸の反対側へ進むので倒立。 なら、レンズの物体側の距離 の位置に虚像ができる。像の先端は延長線上で物体の先端と同じ側にあるので正立

  4. 倍率 を求め、像の大きさ （物体の大きさ）とする

例題

焦点距離 の薄い凸レンズの光軸上で、レンズの前方 の位置に、高さ の物体を光軸に垂直に立てた。光軸に近い光だけを考える。像はレンズから何 cm の位置にでき、その高さは何 cm か。有効数字 2 桁で、位置・高さの順に答えよ。

例題の解答

手順1：凸レンズなので 、物体までの距離は とする。
手順2： となる。逆数をとって 。
手順3： なので、像はレンズの後方（物体と反対側） の位置にできる。光が実際に集まる実像で、倒立である。
手順4：倍率は 。像の高さは 。
よって、レンズから の位置に高さ の像（倒立の実像）ができる。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること