波動の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理波動

屈折率 $n$ の水が深さ $h$ まで入った容器の底に、小物体 $P$ が置かれている。水面は水平で静止している。 $P$ の真上で、水面からの高さが $H$ の位置に、焦点距離 $f$ の薄い凸レンズを、レンズの面が水平になるように置いた。レンズの光軸は $P$ を通る鉛直線と一致している。

空気の屈折率を $1$ とし、光軸とのなす角が十分小さい光線だけを考える（角 $θ$ が十分小さいとき $sin θ \approx tan θ$ と近似してよい）。また、 $n H + h > n f$ が成り立つものとする。

$P$ から出て水面で屈折し、レンズを通過した光は、レンズの上側に $P$ の実像をつくる。レンズの中心からこの実像までの距離を、 $n$ , $h$ , $H$ , $f$ を用いて表せ。

P

凸レンズ水

h

H

図は正確とは限りません

この問題で使うもの

見かけの深さ（説明と入口の問題）
レンズの式と像（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず、水面で屈折した光が、水中のどの点から出たように見えるか（見かけの深さ）を求め、その点をレンズにとっての物体と考えましょう。

ヒント 2

屈折の法則 $n sin θ_{1} = sin θ_{2}$ と、水面上で光線が光軸から離れる距離 $x = h tan θ_{1} = h^{'} tan θ_{2}$ を組み合わせ、角が小さいときの近似を使います。

ヒント 3

見かけの深さは $h^{'} = \frac{h}{n}$ なので、レンズから物体までの距離は $a = H + \frac{h}{n}$ です。これをレンズの式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ に代入して $b$ を求めましょう。

答えと解説

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\frac{f ( n H + h )}{n H + h - n f}

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水面での屈折による見かけの位置

$P$ から出て、水中で鉛直線（光軸）と角 $θ_{1}$ をなして進む光線が、水面で屈折して空気中で鉛直線と角 $θ_{2}$ をなして進むとする。屈折の法則より
$n sin θ_{1} = 1 \cdot sin θ_{2} (1)$
この光線が水面に達する点と光軸との距離を $x$ とすると、 $x = h tan θ_{1}$ である。空気中の光線を水中側へ延長し、光軸と交わる点の水面からの深さを $h^{'}$ とすると、 $x = h^{'} tan θ_{2}$ である。よって
$h^{'} = \frac{h tan θ _{1}}{tan θ _{2}}$
角は十分小さいので $tan θ_{1} \approx sin θ_{1}$ , $tan θ_{2} \approx sin θ_{2}$ と近似でき、 $(1)$ を使うと
$h^{'} \approx \frac{h sin θ _{1}}{sin θ _{2}} = \frac{h}{n}$
この値は $θ_{1}$ によらないので、水面で屈折したあとの光は、すべて水面から深さ $\frac{h}{n}$ の光軸上の点 $P^{'}$ から出たように進む。つまり、レンズにとっては $P^{'}$ が物体（光源）の位置になる。

レンズによる像

レンズから $P^{'}$ までの距離（物体までの距離）を $a$ とすると
$a = H + \frac{h}{n} = \frac{n H + h}{n}$
条件 $n H + h > n f$ より $a > f$ なので、物体は焦点の外側にあり、レンズの上側に実像ができる。レンズから実像までの距離を $b$ とすると、レンズの式
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$
より
$b = \frac{a f}{a - f} = \frac{\frac{n H + h}{n} f}{\frac{n H + h}{n} - f} = \frac{f ( n H + h )}{n H + h - n f}$

したがって、求める距離は $\frac{f ( n H + h )}{n H + h - n f}$ である。

別解

真上（光軸近く）から見た P の見かけの位置を求める。水面での屈折で、水中の光線が鉛直線となす角を $θ_{1}$ 、空気中の角を $θ_{2}$ とすると、屈折の法則 $n sin θ_{1} = sin θ_{2}$ で、角が十分小さいので $n θ_{1} \approx θ_{2}$ 。
水面上で光軸から $d$ の点を通る光線について、 $d = h tan θ_{1} \approx h θ_{1}$ 。空気中に出た光線を逆にのばして光軸と交わる点の水面からの深さを $h^{'}$ とすると $d = h^{'} tan θ_{2} \approx h^{'} θ_{2} = h^{'} n θ_{1}$ 。よって
$h^{'} = \frac{h}{n}$
つまり P は水面から $h / n$ の深さにあるように見える。
レンズの中心からこの見かけの P までの距離（物体距離）は
$a = H + \frac{h}{n} = \frac{n H + h}{n}$
条件 $n H + h > n f$ より $a > f$ なので、レンズの上側に実像ができる。レンズの式 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ より
$b = \frac{a f}{a - f} = \frac{\frac{n H + h}{n} f}{\frac{n H + h}{n} - f} = \frac{( n H + h ) f}{n H + h - n f}$
検算: $n = 1$ のとき $b = \frac{( H + h ) f}{H + h - f}$ となり、水がない場合の $a = H + h$ のレンズの式と一致する。

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