波動の問題

線密度（単位長さあたりの質量）$2.0\times 10^{-3}kg/m$ の弦の一端を点 $\mathrm{A}$ に固定し、弦を水平に張って、点 $\mathrm{A}$ から $0.60\mathrm{m}$ 離れた位置にある滑車の上端 $\mathrm{B}$ にかけ、他端に質量 $M$ のおもりをつるした。弦の $\mathrm{AB}$ 間をはじいたところ、$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を節とし、腹が 3 個ある定常波ができた。

この弦の振動で生じた音を、鉛直に立てたガラス管の上端（開口端）の近くで鳴らした。ガラス管の下部には水が入っており、水面の位置を上端から下げていくと、水面が上端から $15.8\mathrm{cm}$ の位置にきたとき初めて共鳴が起こり、次に $49.8\mathrm{cm}$ の位置にきたとき再び共鳴が起こった。

空気中の音の速さを $340m/s$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。弦を伝わる波の速さ $v$ は、弦の張力の大きさ $S$ と線密度 $\rho$ を用いて $v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$ で表される。おもりの質量 $M$ は何 kg か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、弦の張力の大きさはおもりにはたらく重力の大きさに等しく、開口端補正はどちらの共鳴でも同じとする。また、弦の振動数とガラス管内の音の振動数は等しく、振動中に弦の張力は変わらないものとする。

$x$ 軸上に張られた長いひもを、正弦波が $x$ 軸の正の向きに進んでいる。ひもの各点の変位 $y$ は $x$ 軸に垂直な向きにとる。原点 $\mathrm{O}$ の位置にあるひもの点の、時刻 $t$ における変位は
$$y=A\sin \frac{2\pi t}{T}$$
と表される。ここで $A>0$, $T>0$ は定数である。波は減衰せず、反射波はないものとする。

$x=d$（$d>0$）の位置にあるひもの点 $\mathrm{P}$ を観察したところ、時刻 $t=0$ のあと、$\mathrm{P}$ の変位が初めて $A$ になったのは時刻 $t=\frac{T}{12}$ であった。また、この波の波長は $d$ より長いことがわかっている。

この波の伝わる速さを、$d$, $T$ を用いて表せ。

屈折率 $n$ の水が深さ $h$ まで入った容器の底に、小物体 $\mathrm{P}$ が置かれている。水面は水平で静止している。$\mathrm{P}$ の真上で、水面からの高さが $H$ の位置に、焦点距離 $f$ の薄い凸レンズを、レンズの面が水平になるように置いた。レンズの光軸は $\mathrm{P}$ を通る鉛直線と一致している。

空気の屈折率を $1$ とし、光軸とのなす角が十分小さい光線だけを考える（角 $\theta$ が十分小さいとき $\sin \theta \approx \tan \theta$ と近似してよい）。また、$nH+h>nf$ が成り立つものとする。

$\mathrm{P}$ から出て水面で屈折し、レンズを通過した光は、レンズの上側に $\mathrm{P}$ の実像をつくる。レンズの中心からこの実像までの距離を、$n$, $h$, $H$, $f$ を用いて表せ。

水平な底をもつ水そうに、深さ $h$ まで水が入っている。水の屈折率を $n$（$n>1$）、空気の屈折率を $1$ とする。水そうの底に小さな光る点 $\mathrm{P}$ がある。$\mathrm{P}$ の真上、水面からの高さ $H$ の位置に、焦点距離 $f$ の薄い凸レンズを、レンズの面が水平で光軸が $\mathrm{P}$ を通る鉛直線と一致するように置いた。$\mathrm{P}$ から出てレンズに達する光は、光軸とのなす角が十分小さい光だけを考え、角度 $\theta$ が十分小さいとき $\sin \theta \fallingdotseq \tan \theta$ と近似してよい。また、$nH+h>nf$ が成り立っているとする。水そうの壁や底での反射は考えない。

このとき、レンズの上方に $\mathrm{P}$ の実像ができる。レンズからこの実像までの距離を、$n$, $h$, $H$, $f$ を用いて表せ。

$x$ 軸にそって張られたひもの、$x=8.0\mathrm{m}$ の位置の点 $\mathrm{Q}$ が壁に固定されている（固定端）。$x<8.0\mathrm{m}$ の部分を、$x$ 軸の正の向きに進む正弦波（入射波）が伝わっており、位置 $x$〔m〕、時刻 $t$〔s〕における入射波の変位 $y$〔m〕は
$$y=0.020\sin \pi \left(10t-\frac{x}{3}\right)$$
と表される。入射波は $\mathrm{Q}$ で振幅を変えずに反射し、反射波は $x$ 軸の負の向きに進む。十分時間がたったあと、ひもには入射波と反射波が重なり合った波ができている。

$x=7.0\mathrm{m}$ の位置にある点 $\mathrm{P}$ の振動の振幅は何 $\mathrm{cm}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。