波動の問題

水平な台の左端に、一定の振動数で弦を振動させる振動源を置き、弦の一端をつないだ。弦は水平に張られて、台の右端にある滑らかな定滑車にかけられ、滑車の先で鉛直に垂れた弦の他端に、密度が一様な小物体 $\mathrm{B}$ をつるした。振動源と滑車のあいだの水平な弦の長さは一定である。弦の線密度（単位長さあたりの質量）は一様で、弦を伝わる横波の速さは、弦の張力の大きさを $S$、線密度を ${\rho }_0$ として $\sqrt{\frac{S}{{\rho }_0}}$ で表される。

はじめ、$\mathrm{B}$ を空気中につるして振動源を動かすと、水平な弦に腹が $3$ 個の定常波ができた。次に、振動源の振動数を変えずに、$\mathrm{B}$ をビーカーの水の中に、ビーカーの底や壁にふれないように全体を沈めて静止させたところ、水平な弦に腹が $4$ 個の定常波ができた。

水の密度を ${\rho }_w$ とし、空気による浮力は無視する。また、振動源の位置と滑車にふれる位置は、どちらも定常波の節になるものとし、$\mathrm{B}$ は静止しているとする。$\mathrm{B}$ の密度を、${\rho }_w$ を用いて表せ。

長さ $0.50\mathrm{m}$ の弦の両端を固定し、$20\mathrm{N}$ の張力で張った。弦の線密度（単位長さあたりの質量）は $5.0\times 10^{-4}kg/m$ である。この弦をはじいたところ、両端を節とし、腹が $2$ つの定常波（固有振動）ができた。このときの弦の振動数は何 $\mathrm{Hz}$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。ただし、弦を伝わる波の速さ $v$ は、張力の大きさ $S$ と線密度 $\rho$ を用いて $v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$ で表されるものとする。

長さ $0.50\mathrm{m}$ の弦の両端を固定し、弦に $90\mathrm{N}$ の張力を加えた。弦の線密度（単位長さあたりの質量）は $4.0\times 10^{-3}kg/m$ である。この弦をはじいたところ、両端を節とし、腹が $3$ 個の定常波（固有振動）が生じた。このときの弦の振動数は何 Hz か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。ただし、弦を伝わる波の速さ $v$ は、張力の大きさ $S$ と線密度 $\rho$ を用いて $v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$ で表されるものとする。

$x$ 軸上に張られた長いひもを、正弦波が $x$ 軸の正の向きに進んでいる。ひもの各点の変位 $y$ は $x$ 軸に垂直な向きにとる。原点 $\mathrm{O}$ の位置にあるひもの点の、時刻 $t$ における変位は
$$y=A\sin \frac{2\pi t}{T}$$
と表される。ここで $A>0$, $T>0$ は定数である。波は減衰せず、反射波はないものとする。

$x=d$（$d>0$）の位置にあるひもの点 $\mathrm{P}$ を観察したところ、時刻 $t=0$ のあと、$\mathrm{P}$ の変位が初めて $A$ になったのは時刻 $t=\frac{T}{12}$ であった。また、この波の波長は $d$ より長いことがわかっている。

この波の伝わる速さを、$d$, $T$ を用いて表せ。

長さ $0.80\mathrm{m}$ の弦の両端 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ を固定して張った。弦の線密度（単位長さあたりの質量）は $2.5\times 10^{-3}kg/m$ である。この弦を振動数 $200\mathrm{Hz}$ で振動させたところ、両端 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ を節とし、腹が $4$ 個ある定常波（固有振動）ができた。弦を伝わる横波の速さ $v$ は、弦の張力の大きさ $S$ と線密度 $\rho$ を用いて $v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$ と表される。弦の張力の大きさは何 $\mathrm{N}$ か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。