弦の固有振動

両端を節とする弦の固有振動で、腹の数 $n$ から $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ 、 $f_{n} = \frac{n v}{2 L}$ を求め、 $v = \frac{S}{ρ}$ と組み合わせて張力や振動数を求められる

前提

波の重ね合わせ・反射と定常波（高校物理波動）

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波の重ね合わせ・反射と定常波（高校物理波動）

説明

両端を固定した弦（ギターやバイオリンの弦など）をはじくと、決まった波長と振動数の定常波だけが長く残ります。これを弦の固有振動といいます。この技能を使うと、腹の数 $n$ から波長 $λ_{n}$ と振動数 $f_{n}$ を求められます。さらに、弦を伝わる波の速さの式 $v = \frac{S}{ρ}$ と組み合わせると、弦の張力や線密度、出る音の振動数も求められます。

なぜそうしてよいのか

弦の両端は固定されていて動けません。そのため、両端は必ず定常波の節になります。前提の技能で学んだとおり、定常波の隣り合う節の間隔は $\frac{λ}{2}$ です。長さ $L$ の弦に腹が $n$ 個あるとき、両端の節の間には長さ $\frac{λ}{2}$ の区間がちょうど $n$ 個並びます。よって $L = n \cdot \frac{λ}{2}$ が成り立ち、 $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）となります。これは式でも確かめられます。 $x = 0$ を節とする定常波 $y = 2 A sin k x cos ω t$ で $x = L$ も節になるには、どの時刻でも $y = 0$ 、つまり $sin k L = 0$ でなければなりません。したがって $k L = nπ$ です（ $k L = 0$ では弦が振動しないので、 $n$ は正の整数）。 $k = \frac{2 π}{λ}$ を代入すると、同じ $λ = \frac{2 L}{n}$ が得られます。

弦を伝わる波の速さ $v$ は振動数には関係せず、弦の性質だけで決まります。そのため、波の基本式 $v = f λ$ から $f_{n} = \frac{v}{λ _{n}} = \frac{n v}{2 L}$ が得られます。 $n = 1$ の振動を基本振動、腹が $n$ 個の振動を $n$ 倍振動といいます。 $f_{n}$ は基本振動数 $f_{1} = \frac{v}{2 L}$ のちょうど $n$ 倍になります。

弦の張力を $S$ 〔N〕、線密度（弦 1 m あたりの質量）を $ρ$ 〔kg/m〕とすると、弦を伝わる波の速さは $v = \frac{S}{ρ}$ で表されます。強く張るほど、ずれた部分を元に戻す力が大きくなるので、波は速く伝わります。弦が重いほど動きにくくなるので、波は遅くなります。この式はその傾向を表しています。単位も確かめておきます。 $N = kg \cdot m/ s^{2}$ なので、 $\frac{N}{kg/m} = \frac{kg \cdot m}{s ^{2}} \cdot \frac{m}{kg} = \frac{m ^{2}}{s ^{2}}$ です。その平方根は $m^{2} / s^{2} = m/s$ となり、確かに速さの単位になっています。

手順

腹の数 $n$ を数える（両端は必ず節なので、節の数は $n + 1$ 個になる）。
波長を求める： $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$
波の基本式で振動数と速さを結ぶ： $v = f_{n} λ_{n}$ 、すなわち $f_{n} = \frac{n v}{2 L}$
弦を伝わる波の速さの式 $v = \frac{S}{ρ}$ を使う。張力を求めるときは、両辺を 2 乗して $S = ρ v^{2}$ とする。
単位をそろえて（質量は kg、長さは m）数値を代入し、指定された有効数字に丸める。

例題

長さ $0.50 m$ 、線密度 $4.0 \times 1 0^{- 3} kg/m$ の弦の両端を固定し、張力を加えて張った。この弦を振動数 $300 Hz$ で振動させたところ、腹が 3 個の定常波（固有振動）ができた。弦の張力は何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：腹の数は $n = 3$ である（両端と内部の 2 か所、計 4 か所が節）。
手順2：波長は $λ_{3} = \frac{2 L}{3} = \frac{2 \times 0.50}{3} = \frac{1}{3} m$ である。
手順3：弦を伝わる波の速さは $v = f λ_{3} = 300 \times \frac{1}{3} = 100 m/s$ である。
手順4： $v = \frac{S}{ρ}$ の両辺を 2 乗すると $S = ρ v^{2}$ となる。これに代入して $S = 4.0 \times 1 0^{- 3} \times (100)^{2} = 40 N$ を得る。
手順5：単位はすべて kg・m・s にそろっている。有効数字 2 桁で書くと $4.0 \times 1 0^{1} N$ である。

答え: $4.0 \times 1 0^{1}$

よくある誤り

弦の長さを波長の $n$ 倍と考えて $L = nλ$ としてしまう誤り。腹 1 個分の長さは半波長なので、正しくは $L = n \cdot \frac{λ}{2}$ 、すなわち $λ_{n} = \frac{2 L}{n}$ である。
節の数を $n$ として使ってしまう誤り。両端も節なので、腹が $n$ 個なら節は $n + 1$ 個ある。たとえば節が 4 個なら $n = 3$ で、正しい波長は $λ = \frac{2 L}{3}$ である。
張力を $S = ρ v$ や $S = \frac{v ^{2}}{ρ}$ としてしまう誤り。 $v = \frac{S}{ρ}$ の両辺を 2 乗すると $v^{2} = \frac{S}{ρ}$ なので、正しくは $S = ρ v^{2}$ である。
線密度の単位をそろえずに代入してしまう誤り（例： $4.0 g/m$ をそのまま $4.0$ として代入する）。正しくは $4.0 g/m = 4.0 \times 1 0^{- 3} kg/m$ に直してから代入する。また、 $ρ$ は弦全体の質量ではなく、1 m あたりの質量である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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