波動の問題

屈折率 $n$ の水が深さ $h$ まで入った容器の底に、小物体 $\mathrm{P}$ が置かれている。水面は水平で静止している。$\mathrm{P}$ の真上で、水面からの高さが $H$ の位置に、焦点距離 $f$ の薄い凸レンズを、レンズの面が水平になるように置いた。レンズの光軸は $\mathrm{P}$ を通る鉛直線と一致している。

空気の屈折率を $1$ とし、光軸とのなす角が十分小さい光線だけを考える（角 $\theta$ が十分小さいとき $\sin \theta \approx \tan \theta$ と近似してよい）。また、$nH+h>nf$ が成り立つものとする。

$\mathrm{P}$ から出て水面で屈折し、レンズを通過した光は、レンズの上側に $\mathrm{P}$ の実像をつくる。レンズの中心からこの実像までの距離を、$n$, $h$, $H$, $f$ を用いて表せ。

焦点距離 $10\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ ${\mathrm{L}}_1$ と、焦点距離 $20\mathrm{cm}$ の薄い凹レンズ ${\mathrm{L}}_2$ を、光軸が一致するように $20\mathrm{cm}$ 離して置いた。${\mathrm{L}}_1$ の前方（${\mathrm{L}}_2$ と反対の側）、${\mathrm{L}}_1$ から $15\mathrm{cm}$ の光軸上の位置に、光軸に垂直に小さな物体 $\mathrm{P}$ を置いた。$\mathrm{P}$ から出て ${\mathrm{L}}_1$, ${\mathrm{L}}_2$ を順に通過した光は、${\mathrm{L}}_2$ の後方に置いたスクリーンの上に像を結んだ。

${\mathrm{L}}_2$ からスクリーンまでの距離は何 $\mathrm{cm}$ か。

広い水そうに水を深さ $0.60\mathrm{m}$ まで入れ、底に小さな点光源 $\mathrm{L}$ を置いた。水面は水平で静止している。$\mathrm{L}$ の真上の水面に、うすい円板を、その中心が $\mathrm{L}$ の真上にくるように浮かべる。円板は光を通さない。

水面より上のどの位置から見ても、$\mathrm{L}$ から出た光が水面から空気中へ出てこないようにしたい。そのために必要な円板の半径の最小値は何 $\mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、水の屈折率を $\frac{4}{3}$、空気の屈折率を $1$ とし、円板の厚さと、水そうの壁や底での光の反射は無視する。必要なら $\sqrt{7}=2.65$ を用いよ。

ヤングの実験の装置全体を、屈折率 $n_w$ の水の中に沈めた。2 つの細いスリット ${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ は間隔 $d$ で並び、スリットを含む面から距離 $L$ だけ離れた位置に、スリット面と平行にスクリーンを置く。スクリーン上で、${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ から等距離にある点を O とし、スクリーン上で O から ${\mathrm{S}}_1$ の側へ測った位置を $x$ とする。${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ には、真空中での波長 $\lambda$ の単色光が同位相で入射する。

次に、厚さ $a$、屈折率 $n$（$n>n_w$）の透明な薄い板を、${\mathrm{S}}_1$ の直後（スクリーン側）にスリット面と平行に置き、${\mathrm{S}}_1$ を通った光だけがこの板を通過するようにした。このとき、板を置く前に O にあった中央の明線（2 つの光の光路差が $0$ となる明線）は、スクリーン上の位置 $x$ に移った。$x$ を $n$, $n_w$, $a$, $L$, $d$ を用いて表せ。

ただし、$L$ は $d$ や $|x|$ に比べて十分大きく、${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ からスクリーン上の点 P までの距離の差は ${\mathrm{S}}_2\mathrm{P}-{\mathrm{S}}_1\mathrm{P}=\frac{dx}{L}$ と近似してよい。また、板を通る光の道のりは板の厚さ $a$ とみなし、板の表面での反射は考えない。

水平な台の左端に、一定の振動数で弦を振動させる振動源を置き、弦の一端をつないだ。弦は水平に張られて、台の右端にある滑らかな定滑車にかけられ、滑車の先で鉛直に垂れた弦の他端に、密度が一様な小物体 $\mathrm{B}$ をつるした。振動源と滑車のあいだの水平な弦の長さは一定である。弦の線密度（単位長さあたりの質量）は一様で、弦を伝わる横波の速さは、弦の張力の大きさを $S$、線密度を ${\rho }_0$ として $\sqrt{\frac{S}{{\rho }_0}}$ で表される。

はじめ、$\mathrm{B}$ を空気中につるして振動源を動かすと、水平な弦に腹が $3$ 個の定常波ができた。次に、振動源の振動数を変えずに、$\mathrm{B}$ をビーカーの水の中に、ビーカーの底や壁にふれないように全体を沈めて静止させたところ、水平な弦に腹が $4$ 個の定常波ができた。

水の密度を ${\rho }_w$ とし、空気による浮力は無視する。また、振動源の位置と滑車にふれる位置は、どちらも定常波の節になるものとし、$\mathrm{B}$ は静止しているとする。$\mathrm{B}$ の密度を、${\rho }_w$ を用いて表せ。