波動の問題

空気中でヤングの実験を行う。間隔 $0.50\mathrm{mm}$ で平行に並んだ 2 つの細いスリット ${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ に、スリット面に垂直に単色光を当て、スリット面から $1.0\mathrm{m}$ 離れた、スリット面と平行なスクリーン上に干渉縞をつくった。${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ から等しい距離にあるスクリーン上の点を $\mathrm{O}$ とすると、はじめ、2 つのスリットからの光の光路差が $0$ になる明線（中央の明線）は $\mathrm{O}$ にあった。

次に、${\mathrm{S}}_1$ の直後に、屈折率 $1.5$ の厚さが一様な薄いガラス板を、スリット面と平行に置いて ${\mathrm{S}}_1$ を通った光だけがガラス板を垂直に通過するようにした。すると、中央の明線は、スクリーン上で $\mathrm{O}$ から ${\mathrm{S}}_1$ の側へ $6.0\mathrm{mm}$ 移動した。

ガラス板の厚さは何 $\mu \mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、空気の屈折率を $1.0$ とし、スリットの間隔と縞の移動距離はスリットからスクリーンまでの距離に比べて十分小さいとする。また、ガラス板の表面での反射は無視する。

屈折率 $n$ の水が深さ $h$ まで入った容器の底に、小物体 $\mathrm{P}$ が置かれている。水面は水平で静止している。$\mathrm{P}$ の真上で、水面からの高さが $H$ の位置に、焦点距離 $f$ の薄い凸レンズを、レンズの面が水平になるように置いた。レンズの光軸は $\mathrm{P}$ を通る鉛直線と一致している。

空気の屈折率を $1$ とし、光軸とのなす角が十分小さい光線だけを考える（角 $\theta$ が十分小さいとき $\sin \theta \approx \tan \theta$ と近似してよい）。また、$nH+h>nf$ が成り立つものとする。

$\mathrm{P}$ から出て水面で屈折し、レンズを通過した光は、レンズの上側に $\mathrm{P}$ の実像をつくる。レンズの中心からこの実像までの距離を、$n$, $h$, $H$, $f$ を用いて表せ。

水平な底をもつ水そうに、深さ $h$ まで水が入っている。水の屈折率を $n$（$n>1$）、空気の屈折率を $1$ とする。水そうの底に小さな光る点 $\mathrm{P}$ がある。$\mathrm{P}$ の真上、水面からの高さ $H$ の位置に、焦点距離 $f$ の薄い凸レンズを、レンズの面が水平で光軸が $\mathrm{P}$ を通る鉛直線と一致するように置いた。$\mathrm{P}$ から出てレンズに達する光は、光軸とのなす角が十分小さい光だけを考え、角度 $\theta$ が十分小さいとき $\sin \theta \fallingdotseq \tan \theta$ と近似してよい。また、$nH+h>nf$ が成り立っているとする。水そうの壁や底での反射は考えない。

このとき、レンズの上方に $\mathrm{P}$ の実像ができる。レンズからこの実像までの距離を、$n$, $h$, $H$, $f$ を用いて表せ。

焦点距離 $10\mathrm{cm}$ の薄い凸レンズ ${\mathrm{L}}_1$ と、焦点距離 $20\mathrm{cm}$ の薄い凹レンズ ${\mathrm{L}}_2$ を、光軸が一致するように $20\mathrm{cm}$ 離して置いた。${\mathrm{L}}_1$ の前方（${\mathrm{L}}_2$ と反対の側）、${\mathrm{L}}_1$ から $15\mathrm{cm}$ の光軸上の位置に、光軸に垂直に小さな物体 $\mathrm{P}$ を置いた。$\mathrm{P}$ から出て ${\mathrm{L}}_1$, ${\mathrm{L}}_2$ を順に通過した光は、${\mathrm{L}}_2$ の後方に置いたスクリーンの上に像を結んだ。

${\mathrm{L}}_2$ からスクリーンまでの距離は何 $\mathrm{cm}$ か。

ヤングの実験の装置全体を、屈折率 $n_w$ の水の中に沈めた。2 つの細いスリット ${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ は間隔 $d$ で並び、スリットを含む面から距離 $L$ だけ離れた位置に、スリット面と平行にスクリーンを置く。スクリーン上で、${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ から等距離にある点を O とし、スクリーン上で O から ${\mathrm{S}}_1$ の側へ測った位置を $x$ とする。${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ には、真空中での波長 $\lambda$ の単色光が同位相で入射する。

次に、厚さ $a$、屈折率 $n$（$n>n_w$）の透明な薄い板を、${\mathrm{S}}_1$ の直後（スクリーン側）にスリット面と平行に置き、${\mathrm{S}}_1$ を通った光だけがこの板を通過するようにした。このとき、板を置く前に O にあった中央の明線（2 つの光の光路差が $0$ となる明線）は、スクリーン上の位置 $x$ に移った。$x$ を $n$, $n_w$, $a$, $L$, $d$ を用いて表せ。

ただし、$L$ は $d$ や $|x|$ に比べて十分大きく、${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ からスクリーン上の点 P までの距離の差は ${\mathrm{S}}_2\mathrm{P}-{\mathrm{S}}_1\mathrm{P}=\frac{dx}{L}$ と近似してよい。また、板を通る光の道のりは板の厚さ $a$ とみなし、板の表面での反射は考えない。