全反射と臨界角

屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ進む光の臨界角を $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ から求め、光が外へ出ない範囲（円板の半径など）を求められる

前提

屈折の法則と屈折率（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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屈折の法則と屈折率（高校物理波動）

説明

光が屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ進むとき、入射角がある角度（臨界角 $θ_{c}$ ）を超えると、光は境界面を通り抜けられず、すべて反射されます。これを全反射といいます。この技能では、臨界角を $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ から求めます。また、水中の光源の光が水面から外へ出る範囲を求め、それをふさぐ円板の大きさを決めることができるようになります。光ファイバーや、水中から見た水面の明るい円の大きさなどを考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

屈折の法則 $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ で、 $n_{1} > n_{2}$ （大きい媒質から小さい媒質へ）のときを考えます。このとき $sin θ_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} sin θ_{1} > sin θ_{1}$ なので、屈折角 $θ_{2}$ は入射角 $θ_{1}$ より大きくなります。入射角を大きくしていくと、屈折角が先に $9 0^{\circ}$ に達します。このとき屈折光は境界面すれすれに進みます。このときの入射角が臨界角 $θ_{c}$ です。 $θ_{2} = 9 0^{\circ}$ を代入すると $n_{1} sin θ_{c} = n_{2} sin 9 0^{\circ} = n_{2}$ となり、
$sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$
が得られます。

入射角が $θ_{c}$ より大きいと、屈折の法則を満たすには $sin θ_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} sin θ_{1} > 1$ が必要になります。しかし $sin$ の値は 1 を超えられないので、屈折光は存在しません。光はすべて反射されるしかありません。これが全反射です。逆に $n_{1} < n_{2}$ （小さい媒質から大きい媒質へ）のときは $\frac{n _{2}}{n _{1}} > 1$ となるので、 $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ を満たす角はありません。この場合、全反射は起こりません。

なお、入射角が $θ_{c}$ より小さいときも、光の一部は反射します。しかし一部は外へ出ていきます。光がまったく外へ出ないのは、入射角が $θ_{c}$ 以上のときです。

手順

光が進む向きを確認し、入射側の屈折率 $n_{1}$ が出ていく側の屈折率 $n_{2}$ より大きい（ $n_{1} > n_{2}$ ）ことを確かめる（そうでなければ全反射は起こらない）
臨界角を求める： $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ （外側が空気なら $n_{2} = 1$ として $sin θ_{c} = \frac{1}{n _{1}}$ ）。必要なら $cos θ_{c} = 1 - sin^{2} θ_{c}$ 、 $tan θ_{c} = \frac{sin θ _{c}}{cos θ _{c}}$ も求める
境界面への入射角 $θ$ （法線とのなす角）を、図形の長さで表す。例：深さ $h$ の光源から、真上の点より水平距離 $x$ の点に届く光では $tan θ = \frac{x}{h}$
光が外へ出る条件 $θ < θ_{c}$ と、全反射する条件 $θ ≧ θ_{c}$ の境目を使って、範囲を求める。例：光が外へ出るのは $x < h tan θ_{c}$ の範囲なので、その円の半径は $h tan θ_{c}$

例題

屈折率 $n$ （ $n > 1$ ）の水の中で、水面から深さ $h$ の点に小さな点光源がある。空気の屈折率を $1$ とする。水面は平らで十分に広いものとする。光源の真上の点を中心として、厚さの無視できる不透明な円板を水面に置き、光源から出た光が水面から空気中へまったく出ないようにしたい。円板の半径の最小値を、 $n$ , $h$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順1：光は水（屈折率 $n$ ）から空気（屈折率 $1$ ）へ進みます。 $n > 1$ なので、全反射が起こり得ます。

手順2：臨界角 $θ_{c}$ は $sin θ_{c} = \frac{1}{n}$ を満たします。 $cos θ_{c} = 1 - \frac{1}{n ^{2}} = \frac{n ^{2} - 1}{n}$ なので、 $tan θ_{c} = \frac{sin θ _{c}}{cos θ _{c}} = \frac{1}{n ^{2} - 1}$ です。

手順3：光源の真上の点から水平距離 $x$ の水面上の点に届く光を考えます。その入射角 $θ$ （水面の法線、すなわち鉛直線とのなす角）は $tan θ = \frac{x}{h}$ を満たします。 $x$ が大きいほど $θ$ も大きくなります。

手順4：光が空気中へ出るのは $θ < θ_{c}$ 、つまり $x < h tan θ_{c}$ の点です。それより外側（ $θ ≧ θ_{c}$ ）では全反射して光は出ません。したがって、半径 $h tan θ_{c}$ の円をふさげば、光はまったく外へ出ません。これより小さい円板では、すき間から光が出ます。よって最小の半径は
$r = h tan θ_{c} = \frac{h}{n ^{2} - 1}$
です。

答え: $\frac{h}{n ^{2} - 1}$

よくある誤り

分母と分子を逆にして $sin θ_{c} = \frac{n _{1}}{n _{2}}$ としてしまう誤り。 $n_{1} > n_{2}$ ならこの値は 1 より大きくなり、 $sin$ の値になれません。正しくは $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ （入射側の屈折率が分母）です。例：水 $n = \frac{4}{3}$ から空気へ出るなら $sin θ_{c} = \frac{3}{4}$ です。
外側が空気でないときに $sin θ_{c} = \frac{1}{n _{1}}$ を使ってしまう誤り。正しくは外側の屈折率 $n_{2}$ を使って $sin θ_{c} = \frac{n _{2}}{n _{1}}$ とします。例：ガラス $n_{1} = 1.5$ から水 $n_{2} = 1.33$ なら $sin θ_{c} = \frac{1.33}{1.5}$ です。
入射角を境界面とのなす角で測ってしまう誤り。正しくは、入射角も臨界角も境界面の法線とのなす角です。円板の問題では鉛直線とのなす角 $θ$ を使い、 $tan θ = \frac{x}{h}$ とします（ $tan θ = \frac{h}{x}$ ではありません）。
円板の半径を $r = h sin θ_{c} = \frac{h}{n}$ としてしまう誤り。 $h$ は鉛直方向、 $r$ は水平方向の長さで、直角三角形の 2 本の直角をはさむ辺です。そのため、正しくは $r = h tan θ_{c} = \frac{h}{n ^{2} - 1}$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
広い水そうに水を深さ $0.60 m$ まで入れ、底に小さな点光源 $L$ を置いた。水面は水平で静止している。 $L$ の真上の水面に、うすい円板を、その中心が $L$ の真上にくるように浮かべる。円板は光を通さない。
水面より上のどの位置から見ても、 $L$ から出た光が水面から空気中へ出てこないようにしたい。そのために必要な円板の半径の最小値は何 $m$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、水の屈折率を $\frac{4}{3}$ 、空気の屈折率を $1$ とし、円板の厚さと、水そうの壁や底での光の反射は無視する。必要なら $7 = 2.65$ を用いよ。
$L$ 円板 $0.60 m$
円板の大きさは正確ではありません

この技能の次に学べること

全反射での位相変化（大学物理光学）