波動の問題

ヤングの実験の装置全体を、屈折率 $n_w$ の水の中に沈めた。2 つの細いスリット ${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ は間隔 $d$ で並び、スリットを含む面から距離 $L$ だけ離れた位置に、スリット面と平行にスクリーンを置く。スクリーン上で、${\mathrm{S}}_1$ と ${\mathrm{S}}_2$ から等距離にある点を O とし、スクリーン上で O から ${\mathrm{S}}_1$ の側へ測った位置を $x$ とする。${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ には、真空中での波長 $\lambda$ の単色光が同位相で入射する。

次に、厚さ $a$、屈折率 $n$（$n>n_w$）の透明な薄い板を、${\mathrm{S}}_1$ の直後（スクリーン側）にスリット面と平行に置き、${\mathrm{S}}_1$ を通った光だけがこの板を通過するようにした。このとき、板を置く前に O にあった中央の明線（2 つの光の光路差が $0$ となる明線）は、スクリーン上の位置 $x$ に移った。$x$ を $n$, $n_w$, $a$, $L$, $d$ を用いて表せ。

ただし、$L$ は $d$ や $|x|$ に比べて十分大きく、${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ からスクリーン上の点 P までの距離の差は ${\mathrm{S}}_2\mathrm{P}-{\mathrm{S}}_1\mathrm{P}=\frac{dx}{L}$ と近似してよい。また、板を通る光の道のりは板の厚さ $a$ とみなし、板の表面での反射は考えない。

空気中でヤングの実験を行う。間隔 $d=0.30\mathrm{mm}$ で平行に並んだ 2 本のスリット ${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ に、波長 $\lambda =6.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の単色光を、スリットを含む面に垂直に当てる。スリットを含む面から距離 $L=1.5\mathrm{m}$ のところに、この面と平行にスクリーンを置く。${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ から等しい距離にあるスクリーン上の点を $\mathrm{O}$ とする。スクリーン上に現れる明線の間隔は何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、$d$ と明線の位置の $\mathrm{O}$ からの距離は $L$ に比べて十分小さいとし、空気の屈折率は $1$ とする。

空気中でヤングの実験を行う。間隔 $d=0.25\mathrm{mm}$ で平行に並んだ 2 本の細いスリット ${\mathrm{S}}_1$, ${\mathrm{S}}_2$ に、スリット面に垂直に単色光を当てる。スリット面から $L=0.75\mathrm{m}$ 離れた位置に、スリット面と平行にスクリーンを置く。線分 ${\mathrm{S}}_1{\mathrm{S}}_2$ の垂直二等分線とスクリーンとの交点を $\mathrm{O}$ とすると、$\mathrm{O}$ には明線ができた。$\mathrm{O}$ から ${\mathrm{S}}_1$ の側へ、$\mathrm{O}$ の明線を数えずに 5 番目の明線の位置を $\mathrm{P}$ とすると、$\mathrm{OP}=9.0\mathrm{mm}$ であった。

この単色光の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、$L$ は $d$ や $\mathrm{OP}$ に比べて十分に大きく、スクリーン上で $\mathrm{O}$ から距離 $x$ の点に届く 2 つの光の経路差は $\frac{dx}{L}$ と近似できるものとする。

広い水そうに水を深さ $0.60\mathrm{m}$ まで入れ、底に小さな点光源 $\mathrm{L}$ を置いた。水面は水平で静止している。$\mathrm{L}$ の真上の水面に、うすい円板を、その中心が $\mathrm{L}$ の真上にくるように浮かべる。円板は光を通さない。

水面より上のどの位置から見ても、$\mathrm{L}$ から出た光が水面から空気中へ出てこないようにしたい。そのために必要な円板の半径の最小値は何 $\mathrm{m}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、水の屈折率を $\frac{4}{3}$、空気の屈折率を $1$ とし、円板の厚さと、水そうの壁や底での光の反射は無視する。必要なら $\sqrt{7}=2.65$ を用いよ。

水平な台の上に平らなガラス板 $\mathrm{B}$ を置き、その上に平らなガラス板 $\mathrm{A}$ を重ねる。2 枚の板は一方の端の直線 $\mathrm{O}$ で接しており、$\mathrm{O}$ から水平に $10\mathrm{cm}$ 離れた位置に、$\mathrm{O}$ と平行に厚さ $50\mu \mathrm{m}$ の薄い紙をはさんだ。これにより、$\mathrm{A}$ の下面と $\mathrm{B}$ の上面のあいだに、くさび形のすき間ができる。このすき間を、屈折率 $1.40$ の透明な液体ですき間なく満たした。ガラスの屈折率は $1.50$ である。

真上から、真空中での波長が $560\mathrm{nm}$ の単色光を板に垂直に当て、真上から反射光を見たところ、$\mathrm{O}$ と平行な明暗の縞が等間隔に見えた。くさびの角は十分小さく、光はすき間の中でも板に垂直に進むとみなしてよい。また、干渉に関わるのは $\mathrm{A}$ の下面で反射する光と $\mathrm{B}$ の上面で反射する光だけとする。

隣り合う暗線の間隔は何 $\mathrm{mm}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。