ヤングの実験

経路差 $\frac{d x}{L}$ を使って明線・暗線の条件と位置、明線の間隔 $Δ x = \frac{L λ}{d}$ を求め、媒質や薄い板を入れたときの明線の移動を光路差で求められる

前提

光路長と反射による位相の変化（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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光路長と反射による位相の変化（高校物理波動）

説明

ヤングの実験では、間隔 $d$ の 2 つのスリット $S_{1}, S_{2}$ を通った光を、距離 $L$ 離れたスクリーンに当てます。すると、明るい線（明線）と暗い線（暗線）が等間隔に並んだ縞模様が見えます。この技能を使うと、スクリーン上の各点で 2 つの光の経路差を $\frac{d x}{L}$ と表し、明線・暗線の位置や明線の間隔 $Δ x = \frac{L λ}{d}$ を求められます。さらに、装置全体を液体に入れたときや、片方の経路に薄い板を入れたときに縞がどう変わるかも、光路差を使って求められます。

なぜそうしてよいのか

2 つのスリットの中点からスクリーンに下ろした垂線の足を原点 O とし、スクリーン上で $S_{1}$ 側を正の向きとして、点 P の位置を $x$ とします。 $S_{1}, S_{2}$ は中点から $\pm \frac{d}{2}$ の位置にあります。三平方の定理より $S_{1} P^{2} = L^{2} + (x - \frac{d}{2})^{2}$ 、 $S_{2} P^{2} = L^{2} + (x + \frac{d}{2})^{2}$ なので、差をとると $S_{2} P^{2} - S_{1} P^{2} = 2 d x$ です。左辺は $(S_{2} P - S_{1} P) (S_{2} P + S_{1} P)$ と因数分解できるので、 $S_{2} P - S_{1} P = \frac{2 d x}{S _{1} P + S _{2} P}$ となります。実際の装置では $d$ や $x$ は $L$ に比べてずっと小さく、 $S_{1} P + S_{2} P \approx 2 L$ とみなせます。したがって経路差は $S_{2} P - S_{1} P \approx \frac{d x}{L}$ です。

2 つのスリットには、同じ光源から同位相の光が届くようにしてあります。そのため点 P での明暗は経路差だけで決まります。経路差が波長の整数倍なら山と山が重なって強め合い（明線）、半波長の奇数倍なら山と谷が重なって弱め合います（暗線）。明線の条件 $\frac{d x}{L} = mλ$ から $x = \frac{m L λ}{d}$ となり、 $m$ が 1 増えるごとに $x$ は $\frac{L λ}{d}$ ずつ増えます。これが明線の間隔です。

媒質や板が入る場合は、距離のかわりに光路長（屈折率×距離）で考えます。装置全体を屈折率 $n$ の媒質に入れると、光路差は $n \frac{d x}{L}$ になります。これは波長が $\frac{λ}{n}$ に縮むのと同じことで、明線の間隔は $\frac{L λ}{n d}$ に狭まります。また、 $S_{1}$ 側の経路に厚さ $t$ 、屈折率 $n$ の薄い板を入れると、その部分の光路長は $t$ から $n t$ に変わり、光路長が $(n - 1) t$ だけ増えます。光路差 0 の点（中央の明線）は $\frac{d x}{L} = (n - 1) t$ を満たす点になります。つまり縞全体が、板を入れた側へ $\frac{( n - 1 ) t L}{d}$ だけずれます。

手順

スクリーン上の点 P の位置 $x$ をとり、2 つの経路の差を $S_{2} P - S_{1} P = \frac{d x}{L}$ と表す（ $d, x$ は $L$ よりずっと小さいとする）。
媒質や板があれば光路長に直す。全体が屈折率 $n$ の媒質中なら光路差は $n \frac{d x}{L}$ 、片方の経路に厚さ $t$ の板があれば、その経路の光路長に $(n - 1) t$ を加える。
明線の条件「光路差 $= mλ$ 」、暗線の条件「光路差 $= (m + \frac{1}{2}) λ$ 」（ $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ ）を立てる。
条件を $x$ について解き、明線・暗線の位置を求める。真空（空気）中の明線は $x = \frac{m L λ}{d}$ 。
隣り合う明線（ $m$ と $m + 1$ ）の位置の差をとり、間隔 $Δ x = \frac{L λ}{d}$ や縞の移動量を求める。計算の前に単位を m にそろえる。

例題

空気中で、波長 $6.0 \times 1 0^{- 7} m$ の単色光を、間隔 $0.50 mm$ の 2 つのスリットに当てた。2 つのスリットには同位相の光が届く。スリットから $1.0 m$ 離れた、スリットを含む面に平行なスクリーン上に干渉縞ができた。空気の屈折率は 1 とし、スクリーン上で見る範囲はスリットからスクリーンまでの距離よりずっと小さいとする。隣り合う明線の間隔は何 mm か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1：スクリーン上の点の位置を $x$ とすると、経路差は $\frac{d x}{L}$ である。ここで $d = 0.50 mm = 5.0 \times 1 0^{- 4} m$ 、 $L = 1.0 m$ とする。
手順2：空気の屈折率は 1 なので、光路差は経路差 $\frac{d x}{L}$ のままでよい。
手順3：明線の条件は $\frac{d x}{L} = mλ$ （ $m = 0, \pm 1, \dots$ ）である。
手順4：これを $x$ について解くと $x = \frac{m L λ}{d}$ となる。
手順5： $m$ と $m + 1$ の位置の差をとると $Δ x = \frac{L λ}{d} = \frac{1.0 \times 6.0 \times 1 0 ^{- 7}}{5.0 \times 1 0 ^{- 4}} = 1.2 \times 1 0^{- 3} m$ である。これを mm に直すと $1.2 mm$ となる。

答え: $1.2$

よくある誤り

暗線の条件を $\frac{d x}{L} = mλ$ としてしまう誤り。2 つのスリットの光は同位相なので、 $mλ$ は明線の条件である。正しくは暗線は $\frac{d x}{L} = (m + \frac{1}{2}) λ$ 。
$d = 0.50 mm$ を $0.50$ のまま $Δ x = \frac{L λ}{d}$ に代入してしまう誤り。正しくは $d = 5.0 \times 1 0^{- 4} m$ のように、 $L, λ, d$ の単位を m にそろえてから計算する。
片方の経路に厚さ $t$ 、屈折率 $n$ の板を入れたとき、光路長の増加を $n t$ としてしまう誤り。板を入れる前もその部分を光は距離 $t$ 進んでいたので、正しくは増加分は $n t - t = (n - 1) t$ である。縞は板を入れた側へ $\frac{( n - 1 ) t L}{d}$ ずれる（板から遠ざかる向きではない）。
装置全体を屈折率 $n$ の液体に入れても、明線の間隔を $\frac{L λ}{d}$ のままとしてしまう誤り。液体中では光路差が $n \frac{d x}{L}$ になるので、正しくは間隔は $\frac{L λ}{n d}$ と狭くなる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

回折格子（高校物理波動）
2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）