回折格子

格子定数 $d$ の回折格子で、明線の条件 $d sin θ = mλ$ を使って回折角・波長・見える明線の数を求められる

前提

ヤングの実験（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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ヤングの実験（高校物理波動）

説明

回折格子は、ガラス板などに細いすき間（スリット）を等間隔に非常に多く並べたものです。隣り合うスリットの間隔を格子定数 $d$ といいます。明線の条件 $d sin θ = mλ$ を使うと、明線が見える方向（回折角 $θ$ ）、光の波長 $λ$ 、見える明線の本数を求められます。光の波長を精密に測る場面や、白色光を色ごとに分ける分光の場面で使います。

なぜそうしてよいのか

単色光を回折格子に垂直に当て、格子を出た光を十分遠くで観察します。遠くの一点に集まる光は、どのスリットからもほぼ平行に、同じ角度 $θ$ （格子面に垂直な方向から測った角）で進むとみなせます。隣り合う2本のスリットから出る光を比べると、一方はもう一方より $d sin θ$ だけ長く進みます（スリット間隔 $d$ を斜辺とする直角三角形で、角 $θ$ の対辺がこの経路差です）。これはヤングの実験の経路差 $\frac{d x}{L}$ と同じものです。ヤングの実験では角度が小さいので $sin θ ≒ tan θ = \frac{x}{L}$ と近似していました。

経路差 $d sin θ$ が波長の整数倍 $mλ$ なら、隣り合う光は山と山がそろって強め合います。隣の隣のスリットとの経路差は $2 mλ$ 、そのまた隣とは $3 mλ$ と、どれも波長の整数倍になるので、すべてのスリットからの光が同時に強め合います。よって明線の条件は $d sin θ = mλ$ （ $m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ ）です。 $m$ を明線の次数といいます。スリットの数が非常に多いと、この条件からわずかにずれた方向では各スリットの光が打ち消し合ってしまうため、明線は細く鋭くなります。

回折格子では $d$ が小さく（波長に近く）、 $sin θ = \frac{mλ}{d}$ が大きくなるので、回折角 $θ$ は大きくなります。そのため $sin θ ≒ tan θ$ の近似は使えず、 $sin θ$ をそのまま使います。また、観察できる方向は $∣ sin θ ∣ < 1$ を満たす方向に限られる（ $∣ sin θ ∣ = 1$ は格子面に沿う方向）ので、 $∣ m ∣ < \frac{d}{λ}$ を満たす次数の明線しか現れません。

手順

格子定数 $d$ を求める。「1 mm あたり $N$ 本」のように与えられたら $d = \frac{1 mm}{N}$ として、単位を m にそろえる
問題で注目している明線の次数 $m$ を確かめる（中央の明線が $m = 0$ 、その外側が順に $m = 1, 2, \dots$ ）
明線の条件 $d sin θ = mλ$ を書く
求めたい量について解く。波長なら $λ = \frac{d sin θ}{m}$ 、回折角なら $sin θ = \frac{mλ}{d}$
明線の数を求めるときは、 $∣ sin θ ∣ < 1$ から $∣ m ∣ < \frac{d}{λ}$ を満たす整数 $m$ をすべて数える（中央の1本と左右両側を含める）

例題

1 mm あたり 500 本の溝が等間隔に刻まれた回折格子に、単色光を格子面に垂直に当てた。格子から十分遠くで観察したところ、2次の明線が、格子面に垂直な方向から $3 0^{\circ}$ の方向に見えた。この光の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順1（格子定数）: 1 mm に 500 本なので $d = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3} m}{500} = 2.0 \times 1 0^{- 6} m$ 。
手順2（次数）: 2次の明線なので $m = 2$ 。
手順3（明線の条件）: $d sin θ = mλ$ より $2.0 \times 1 0^{- 6} \times sin 3 0^{\circ} = 2 λ$ 。
手順4（波長について解く）: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ なので $λ = \frac{2.0 \times 1 0 ^{- 6} \times \frac{1}{2}}{2} = 5.0 \times 1 0^{- 7} m$ 。
よって波長は $5.0 \times 1 0^{- 7}$ m。

答え: $5.0 \times 1 0^{- 7}$

よくある誤り

「1 mm あたり 500 本」をそのまま $d = 500$ としたり、 $d = 500 \times 1 0^{- 3}$ m としたりする誤り。正しくは $d = \frac{1.0 \times 1 0 ^{- 3}}{500} = 2.0 \times 1 0^{- 6}$ m で、本数の逆数が間隔になる。
ヤングの実験と同じように $sin θ ≒ tan θ = \frac{x}{L}$ と近似してしまう誤り。回折格子では $θ$ が大きく、たとえば $θ = 3 0^{\circ}$ で $sin θ = 0.50$ 、 $tan θ ≒ 0.58$ と大きくずれる。正しくは $d sin θ = mλ$ をそのまま使い、スクリーン上の位置が必要なら $x = L tan θ$ で求める。
見える明線の数を数えるとき、 $sin θ = 1$ になる次数まで含めてしまう誤り。例えば $d = 2.0 \times 1 0^{- 6}$ m、 $λ = 5.0 \times 1 0^{- 7}$ m では $\frac{d}{λ} = 4$ だが、 $m = 4$ は $θ = 9 0^{\circ}$ で格子面に沿う方向となり観察できない。正しくは $∣ m ∣ < 4$ より $m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3$ の 7 本。
明線の数を片側だけ数えたり、中央の明線を数え忘れたりする誤り。最大次数が $m_{m a x}$ のとき、正しくは中央の1本と左右 $m_{m a x}$ 本ずつで $2 m_{m a x} + 1$ 本。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の章末問題レベル）
空気中で、波長 $5.0 \times 1 0^{- 7} m$ の単色光を、回折格子の面に垂直に入射させた。回折格子の溝は等間隔に平行に並んでいる。回折格子を通過した光を観察したところ、入射光の向き（回折格子の面の法線の向き）となす角を $θ$ とすると、 $sin θ = 0.50$ の向きに、正面の明線から数えて 2 番目の明線（2 次の明線）が観測された。空気の屈折率は $1$ とする。
この回折格子には、幅 $1.0 mm$ あたり何本の溝が刻まれているか。
入射光回折格子 $θ$
図は正確とは限りません

この技能の次に学べること

多スリット回折と欠落次数（大学物理光学）