多スリット回折と欠落次数

$N$ 本のスリットの強度 $I \propto (\frac{sin β}{β})^{2} (\frac{sin N γ}{sin γ})^{2}$ を使い、斜め入射 $d (sin θ - sin θ_{0}) = mλ$ も含めて、観測される主極大の次数や個数、欠落次数を求められる

前提

単スリットのフラウンホーファー回折（大学物理光学）
回折格子（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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単スリットのフラウンホーファー回折（大学物理光学）
回折格子（高校物理波動）

説明

幅 $a$ のスリットが間隔 $d$ で $N$ 本並んだものに単色光を当てたときの、遠方での強度分布を扱います。強度は「1 本のスリットの回折の形」と「 $N$ 本の干渉の形」の積
$I \propto (\frac{sin β}{β})^{2} (\frac{sin N γ}{sin γ})^{2}$
になり、これを使うと鋭い明線（主極大）がどこに何本現れるか、また本来明線が出るはずなのに消えてしまう次数（欠落次数）がどれかを求められます。光が格子に斜めに入射する場合も、位相差の式を少し変えるだけで同じように扱えます。

なぜそうしてよいのか

スクリーン上の方向 $θ$ に届く波を、スリットごとに足し合わせます。まず 1 本のスリットからの波は、単スリット回折で求めたとおり振幅が $A \frac{sin β}{β}$ （ $β = \frac{π a sin θ}{λ}$ ）です。隣り合うスリットは $d$ だけずれているので、方向 $θ$ では経路差が $d sin θ$ 、位相差が $\frac{2 π d sin θ}{λ} = 2 γ$ （ $γ = \frac{π d sin θ}{λ}$ ）です。複素数で表すと全体の振幅は、初項 $1$ ・公比 $e^{2 iγ}$ の等比数列の和を掛けたもの
$A \frac{sin β}{β} k = 0 \sum N - 1 e^{2 ik γ} = A \frac{sin β}{β} \cdot \frac{e ^{2 i N γ} - 1}{e ^{2 iγ} - 1} = A \frac{sin β}{β} \cdot \frac{e ^{i N γ}}{e ^{iγ}} \cdot \frac{sin N γ}{sin γ}$
になります（ $e^{2 i x} - 1 = e^{i x} \cdot 2 i sin x$ を使った。 $sin γ \neq = 0$ のとき）。絶対値の 2 乗をとると上の強度の式が得られます。

$sin γ = 0$ 、つまり $γ = mπ$ （ $d sin θ = mλ$ 、 $m$ は整数）のときは、 $N$ 本の波の位相がすべてそろうので、 $\frac{sin N γ}{sin γ}$ は極限で $\pm N$ となり、強度は $1$ 本のときの $N^{2}$ 倍の鋭い山（主極大）になります。これは回折格子の明線の条件そのものです。主極大どうしの間には $sin N γ = 0$ となる暗線が $N - 1$ 本、小さな山（副極大）が $N - 2$ 個あります。ところが、主極大の方向がちょうど単スリット回折の暗線 $β = j π$ （ $j$ は $0$ でない整数、 $a sin θ = j λ$ ）と重なると、各スリットからの波そのものが $0$ なので、いくら位相がそろっても強度は $0$ です。 $d sin θ = mλ$ と $a sin θ = j λ$ を同時に満たすのは $m = \frac{d}{a} j$ のときで、この次数 $m$ の主極大は見えなくなります。これが欠落次数です。

光が格子の法線から角 $θ_{0}$ 傾いて入射するときは、隣のスリットに届く時点ですでに入射側で $d sin θ_{0}$ の経路差があります。出ていく側の経路差 $d sin θ$ からこれを引いた $d (sin θ - sin θ_{0})$ が正味の経路差なので（ $θ$ と $θ_{0}$ は法線から同じ向きを正にとる）、 $γ = \frac{π d ( sin θ - sin θ _{0} )}{λ}$ 、 $β = \frac{π a ( sin θ - sin θ _{0} )}{λ}$ と置き換えるだけで同じ式が使えます。主極大の条件は $d (sin θ - sin θ_{0}) = mλ$ です。

手順

$γ = \frac{π d ( sin θ - sin θ _{0} )}{λ}$ 、 $β = \frac{π a ( sin θ - sin θ _{0} )}{λ}$ と置く（垂直入射なら $θ_{0} = 0$ ）。
主極大の条件 $d (sin θ - sin θ_{0}) = mλ$ （ $m$ は整数）を書く。
観測できる範囲 $- 1 < sin θ < 1$ から、 $m$ のとりうる範囲 $\frac{d}{λ} (- 1 - sin θ_{0}) < m < \frac{d}{λ} (1 - sin θ_{0})$ を求め、その中の整数を数える。
欠落次数を求める: 単スリットの暗線 $β = j π$ （ $j = \pm 1, \pm 2, \dots$ ）と重なる $m = \frac{d}{a} j$ のうち整数で、手順 3 の範囲に入るものを探す。
手順 3 で数えた次数から欠落次数を除いたものが、実際に観測される主極大の次数（個数）になる。必要なら主極大の間に暗線が $N - 1$ 本、副極大が $N - 2$ 個あることも使う。

例題

幅 $a$ のスリットが間隔 $d = 3 a$ で多数並んだ格子に、波長 $λ$ の単色光を垂直に入射させる。 $d = 5.5 λ$ のとき、遠方のスクリーンで観測される主極大の個数を求めよ。ただし回折角 $θ$ は $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ の範囲で観測でき、強度は $I \propto (\frac{sin β}{β})^{2} (\frac{sin N γ}{sin γ})^{2}$ （ $β = \frac{π a sin θ}{λ}$ 、 $γ = \frac{π d sin θ}{λ}$ ）で与えられ、強度が $0$ になる主極大は観測されないものとする。

例題の解答

【手順 1】垂直入射なので $θ_{0} = 0$ 、 $γ = \frac{π d sin θ}{λ}$ 、 $β = \frac{π a sin θ}{λ} = \frac{γ}{3}$ 。

【手順 2】主極大の条件は $d sin θ = mλ$ 、すなわち $sin θ = \frac{mλ}{d} = \frac{m}{5.5}$ 。

【手順 3】 $- 1 < sin θ < 1$ より $- 5.5 < m < 5.5$ 。整数 $m$ は $- 5, - 4, \dots, 5$ の $11$ 個。

【手順 4】欠落次数は $m = \frac{d}{a} j = 3 j$ （ $j = \pm 1, \pm 2, \dots$ ）。この範囲に入るのは $m = \pm 3$ の $2$ 個（ $m = \pm 6$ は範囲外）。実際、 $m = 3$ では $sin θ = \frac{3}{5.5}$ 、 $β = \frac{π \cdot 3}{3} = π$ で $sin β = 0$ となり、強度は $0$ 。

【手順 5】観測される主極大は $m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5$ で、個数は $11 - 2 = 9$ 。

答え: $9$

よくある誤り

$sin θ$ の範囲の端を含めて $∣ m ∣ \leq \frac{d}{λ}$ と数えてしまう誤り。 $\frac{d}{λ}$ が整数のとき、 $∣ m ∣ = \frac{d}{λ}$ は $θ = \pm \frac{π}{2}$ （格子面に沿う向き）でスクリーンに届かないので、 $- 1 < sin θ < 1$ から $∣ m ∣ < \frac{d}{λ}$ とする。
欠落次数を $m = \frac{a}{d} j$ と逆にしてしまう誤り。 $d sin θ = mλ$ と $a sin θ = j λ$ を割り算すると $\frac{m}{j} = \frac{d}{a}$ なので、正しくは $m = \frac{d}{a} j$ （ $d = 3 a$ なら $m = \pm 3, \pm 6, \dots$ ）。
$β = 0$ （ $j = 0$ ）も単スリットの暗線と考えて $m = 0$ を欠落させてしまう誤り。 $β \to 0$ では $\frac{sin β}{β} \to 1$ で最大なので、中央の $m = 0$ は必ず見える。欠落するのは $j \neq = 0$ のときだけ。
斜め入射で $d sin θ = mλ$ のまま計算する、または $sin θ_{0}$ の符号を逆にする誤り。正しくは入射側の経路差も含めて $d (sin θ - sin θ_{0}) = mλ$ （ $θ, θ_{0}$ は法線から同じ向きを正）で、 $m$ の範囲は $- 1 - sin θ_{0} < \frac{mλ}{d} < 1 - sin θ_{0}$ と正負で非対称になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
幅 $a = 1.5 μ m$ のスリットが間隔（隣り合うスリットの中心間の距離） $d = 4.5 μ m$ で $N$ 本（ $N \geq 2$ ）並んだ多スリットに、波長 $λ = 600 nm$ の単色の平面波が垂直に入射する。十分遠方で観測すると、回折角 $θ$ の方向の強度は
$I \propto (\frac{sin β}{β})^{2} (\frac{sin N γ}{sin γ})^{2}, β = \frac{π a sin θ}{λ}, γ = \frac{π d sin θ}{λ}$
で表される。 $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ の範囲で、実際に観測される主極大の個数を求めよ。ただし、主極大の位置で単スリットの回折の因子 $(\frac{sin β}{β})^{2}$ が $0$ になる次数（欠落次数）は観測されないものとし、それ以外の主極大はすべて観測されるものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

分解能とレイリーの基準（大学物理光学）