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光学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理光学

空気（屈折率 $1$ ）中に透過型回折格子を置く。この格子は、幅 $a = 0.625 μ m$ の同じスリットが周期 $d = 2.50 μ m$ （ $1 mm$ あたり $400$ 本）で平行に並んだものである。格子面に垂直に、真空中の波長 $λ_{1} = 589.00 nm$ と $λ_{2} = 589.59 nm$ の 2 つの成分を含む平面波を入射させる。光は格子のうち $N$ 本のスリットを一様に照らしている。回折光は十分遠方で観測する（フラウンホーファー回折）。各スリット内の光の振幅は一様とする。

次数 $m$ の主極大のうち、 $sin θ < 1$ を満たし、しかも両方の波長について強度が $0$ にならないものだけが観測できるとする。観測できる主極大のうち最も大きい次数を使って、この 2 つの波長を分解したい。分解できる条件は、レイリーの基準とする。すなわち、 $λ_{2}$ の $m$ 次の主極大の位置が、 $λ_{1}$ の $m$ 次の主極大に隣り合う長波長側（ $θ$ が大きい側）の最初の暗線の位置と一致するか、それより外側にあるとき、分解できるとする。

このとき、照らされるスリットの本数 $N$ の最小値を整数で求めよ。

この問題で使うもの

多スリット回折と欠落次数（説明と入口の問題）
分解能とレイリーの基準（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（78 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず、どの次数の主極大が観測できるかを調べます。 $sin θ < 1$ の条件に加えて、単スリット回折の暗線と主極大が重なる「欠落次数」がないかを確かめましょう。

ヒント 2

$d / a = 4$ なので、 $m = 4$ の主極大は $a sin θ = λ$ の方向にあります。主極大の隣の最初の暗線は $d sin θ = m λ_{1} + λ_{1} / N$ の位置です。

ヒント 3

使う次数は $m = 3$ です。レイリーの基準から $3 λ_{2} \geq 3 λ_{1} + λ_{1} / N$ となるので、 $N \geq λ_{1} / {3 (λ_{2} - λ_{1})}$ を計算します。

答えと解説

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333

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解説を読む

強度分布

回折角 $θ$ の方向の強度は
$I (θ) \propto (\frac{sin β}{β})^{2} (\frac{sin N γ}{sin γ})^{2}, β = \frac{π a sin θ}{λ}, γ = \frac{π d sin θ}{λ}$
である。前の因子は 1 本のスリットによる回折、後ろの因子は $N$ 本のスリットの干渉を表す。主極大は $γ = mπ$ 、すなわち $d sin θ = mλ$ の方向にできる。

観測できる最大の次数

$sin θ = mλ / d < 1$ が必要である。長い方の波長 $λ_{2}$ で調べると
$m < \frac{d}{λ _{2}} = \frac{2500}{589.59} = 4.24 \dots$
なので、 $m \leq 4$ である。

ところが $d / a = 2.50/0.625 = 4$ である。 $m = 4$ の主極大の方向では $sin θ = 4 λ / d$ となるので
$a sin θ = \frac{d}{4} \cdot \frac{4 λ}{d} = λ, β = π$
となる。これは単スリット回折の最初の暗線と重なるので、どちらの波長でも強度は $0$ になる（欠落次数）。

$m = 3$ では $β = \frac{3 π}{4}$ なので $sin β \neq = 0$ であり、強度は $0$ でない。したがって、使う次数は $m = 3$ である。

レイリーの基準

$λ_{1}$ の $m$ 次の主極大は $N γ = N mπ$ にある。その長波長側で最初の暗線は、 $sin N γ = 0$ となる次の点 $N γ = N mπ + π$ である。よって
$d sin θ = m λ_{1} + \frac{λ _{1}}{N}$
となる。 $λ_{2}$ の $m$ 次の主極大は $d sin θ = m λ_{2}$ にある。分解できる条件は
$m λ_{2} \geq m λ_{1} + \frac{λ _{1}}{N} ⟺ N \geq \frac{λ _{1}}{m ( λ _{2} - λ _{1} )}$
である。

数値

$λ_{2} - λ_{1} = 0.59 nm$ 、 $m = 3$ を代入すると
$N \geq \frac{589.00}{3 \times 0.59} = \frac{589.00}{1.77} = 332.77 \dots$
となる。 $N$ は整数なので、最小値は $N = 333$ である。このとき照らされる格子の幅は約 $333 \times 2.50 μ m \approx 0.83 mm$ である。

別解

回折格子の条件は $d sin θ = mλ$ である。

1. 観測できる最大次数を求める。 $sin θ < 1$ より、 $λ_{2}$ について $m < d / λ_{2} = 2500/589.59 \approx 4.24$ なので $m \leq 4$ である。
2. 欠次を調べる。 $d / a = 2.50/0.625 = 4$ なので、スリット幅による回折の包絡線の零点と主極大が重なる。そのため $m = \pm 4, \pm 8, \dots$ は両方の波長で強度が $0$ になり、観測できない。したがって観測できる最大次数は $m = 3$ である。 $sin θ = 3 \times 589.59/2500 = 0.7076 < 1$ で、 $3$ は $4$ の倍数でないので条件を満たす。
3. レイリーの基準を式にする。 $N$ 本の格子では、 $λ_{1}$ の $m$ 次主極大に隣り合う長波長側の最初の暗線は $d sin θ = (m + 1/ N) λ_{1}$ の位置にある。 $λ_{2}$ の $m$ 次主極大は $d sin θ = m λ_{2}$ である。分解できる条件は $m λ_{2} \geq (m + 1/ N) λ_{1}$ であり、整理すると $N \geq λ_{1} / (m (λ_{2} - λ_{1}))$ となる。
4. 数値を代入する。 $N \geq 589.00/ (3 \times 0.59) = 589/1.77 \approx 332.77$ である。
5. 検算する。 $N = 333$ のとき $3 \times 0.59 \times 333 = 589.41 \geq 589$ で条件を満たす。 $N = 332$ のとき $3 \times 0.59 \times 332 = 587.64 < 589$ で条件を満たさない。

よって $N$ の最小値は $333$ である。

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