光学の問題

空気（屈折率 $1$）中に、幅 $a=0.080\text{mm}$ の同じスリットが 2 本、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ で平行に並んだ二重スリットがある。真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、十分遠方のスクリーンで像を観察する。スクリーン上には、2 本のスリットからの光の干渉による明線が、1 本のスリットによる回折の強度分布（包絡線）の中に並んで見える。単スリット回折の中央の明るい部分（中心の両側で最初に強度が $0$ になる 2 つの方向の間）の内側に現れる干渉の明線の本数を求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、干渉の明線は 2 本のスリットからの光の光路差が波長の整数倍になる方向に現れるものとする。

空気（屈折率 $1$）中で、幅 $a=0.200\text{mm}$ の単スリットに、真空中の波長 $\lambda =500\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、スリットから $L=2.00\text{m}$ 離れた平行なスクリーンで回折像を観察する。スクリーン上で、像の中心（スリットの中心からスクリーンに下ろした垂線の足）からスリットの幅の方向に $y=7.50\text{mm}$ 離れた点 $\text{P}$ での光の強度を $I_{\text{P}}$、像の中心での強度を $I_0$ とする。比 $\frac{I_{\text{P}}}{I_0}$ を、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、角度が小さいので $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$ と近似してよい。

空気（屈折率 $1$）中に透過型回折格子を置く。この格子は、幅 $a=0.625\mu \text{m}$ の同じスリットが周期 $d=2.50\mu \text{m}$（$1\text{mm}$ あたり $400$ 本）で平行に並んだものである。格子面に垂直に、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.00\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.59\text{nm}$ の 2 つの成分を含む平面波を入射させる。光は格子のうち $N$ 本のスリットを一様に照らしている。回折光は十分遠方で観測する（フラウンホーファー回折）。各スリット内の光の振幅は一様とする。

次数 $m$ の主極大のうち、$\sin \theta <1$ を満たし、しかも両方の波長について強度が $0$ にならないものだけが観測できるとする。観測できる主極大のうち最も大きい次数を使って、この 2 つの波長を分解したい。分解できる条件は、レイリーの基準とする。すなわち、${\lambda }_2$ の $m$ 次の主極大の位置が、${\lambda }_1$ の $m$ 次の主極大に隣り合う長波長側（$\theta$ が大きい側）の最初の暗線の位置と一致するか、それより外側にあるとき、分解できるとする。

このとき、照らされるスリットの本数 $N$ の最小値を整数で求めよ。

空気中（屈折率 $1$）に置いた透過型回折格子は、幅 $a$ の同じスリットが周期 $d$ で多数並んだものであり、$d=3a$ である。この格子に、真空中の波長 $\lambda$ の単色平面波を、格子の法線に対して入射角 ${\theta }_0$ で斜めに入射させる。ここで $\sin {\theta }_0=\frac{1}{2}$、$d=6.4\lambda$ とする。透過側の十分遠方（フラウンホーファー回折）で、回折角 $\theta$（格子の法線から、入射光の傾きと同じ向きを正として測る）の方向に現れる主極大（格子の干渉による明線）のうち、実際に観測される（強度が $0$ でない）ものの個数を求めよ。ただし、$|\sin \theta |=1$ となる方向（格子面に沿う方向）には明線は観測されないものとし、スリット 1 本による回折の強度が $0$ となる方向と主極大の方向がちょうど一致するときは、その主極大は消える（欠落する）ものとする。

等間隔に並んだ $N$ 本の同じ幅のスリットからなる透過型回折格子に、波長 $\lambda$ 付近の 2 つの波長 $\lambda$ と $\lambda +\Delta \lambda$ を含む平面波を格子面に垂直に入射させ、十分遠方（フラウンホーファー回折）でスペクトルを観測する。格子の周期（隣り合うスリットの中心間隔）は $d=4.2\lambda$、各スリットの幅は $a=1.05\lambda$ であり、スリットの開口内では振幅は一様とする。また $\lambda /\Delta \lambda =1200$ とする。

回折角が $90^{\circ }$ 未満で現れる主極大のうち、単スリット回折の強度が $0$ になる方向と重なって消える次数（欠落次数）は使えないものとする。使える次数のうち 2 つの波長を最もよく分解できる次数を用いたとき、レイリーの基準（分解能 $\lambda /\Delta {\lambda }_{\min }=mN$、$m$ は次数）で 2 つの波長が分解できるために必要なスリットの本数 $N$ の最小値を求めよ。ただし、$\Delta \lambda$ は $\lambda$ に比べて十分小さく、どの次数が現れるか・欠落するかの判定は波長 $\lambda$ で行ってよい。