光学の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理光学

空気（屈折率 $1$ ）中で、幅 $a = 0.200 mm$ の単スリットに、真空中の波長 $λ = 500 nm$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、スリットから $L = 2.00 m$ 離れた平行なスクリーンで回折像を観察する。スクリーン上で、像の中心（スリットの中心からスクリーンに下ろした垂線の足）からスリットの幅の方向に $y = 7.50 mm$ 離れた点 $P$ での光の強度を $I_{P}$ 、像の中心での強度を $I_{0}$ とする。比 $\frac{I _{P}}{I _{0}}$ を、円周率 $π$ を用いた正確な値で求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、角度が小さいので $sin θ \approx tan θ = \frac{y}{L}$ と近似してよい。

この問題で使うもの

単スリットのフラウンホーファー回折（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（75 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

単スリットのフラウンホーファー回折の強度は $I / I_{0} = (\frac{sin β}{β})^{2}$ で表されます。

ヒント 2

$β = \frac{π a sin θ}{λ}$ で、 $sin θ \approx y / L$ と近似できます。

ヒント 3

スリットの両端からの光路差 $a sin θ$ は $1.5 λ$ になります。

答えと解説

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\frac{4}{9 π ^{2}}

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解説を読む

単スリットの強度分布

スリットを幅 $d x$ の細い帯に分け、各帯から出る素元波（ホイヘンスの原理）を方向 $θ$ について重ね合わせる。スリットの端から $x$ の位置の帯からの波は、端からの波に比べて位相が $k x sin θ$ （ $k = 2 π / λ$ ）だけ進むので、合成振幅は
$E (θ) \propto \int_{0}^{a} e^{ik x s i n θ} d x = e^{i β} a \frac{sin β}{β}, β = \frac{π a sin θ}{λ}$
となる。強度は振幅の絶対値の 2 乗に比例するので
$\frac{I ( θ )}{I _{0}} = (\frac{sin β}{β})^{2}$
（ $θ = 0$ で $sin β / β \to 1$ ）。

点 P での $β$

$sin θ \approx \frac{y}{L} = \frac{7.50 \times 1 0 ^{- 3}}{2.00} = 3.75 \times 1 0^{- 3}$
スリットの両端からの光路差は
$a sin θ = 0.200 \times 1 0^{- 3} \times 3.75 \times 1 0^{- 3} = 7.50 \times 1 0^{- 7} m = 1.5 λ$
よって
$β = \frac{π a sin θ}{λ} = 1.5 π = \frac{3 π}{2}$

強度比

$sin \frac{3 π}{2} = - 1$ なので
$\frac{I _{P}}{I _{0}} = (\frac{- 1}{3 π /2})^{2} = \frac{4}{9 π ^{2}} \approx 0.045$
（点 P は 1 番目と 2 番目の暗線（ $a sin θ = λ, 2 λ$ ）のちょうど中間で、第 1 副極大のおおよその位置に当たる。）

別解

単スリットのフラウンホーファー回折の強度は $I = I_{0} (\frac{sin β}{β})^{2}$ 、 $β = \frac{π a sin θ}{λ}$ 。

$sin θ \approx \frac{y}{L} = \frac{7.50 \times 1 0 ^{- 3}}{2.00} = 3.75 \times 1 0^{- 3}$ 。

$β = π \cdot \frac{0.200 \times 1 0 ^{- 3} \times 3.75 \times 1 0 ^{- 3}}{500 \times 1 0 ^{- 9}} = π \cdot \frac{7.5 \times 1 0 ^{- 7}}{5 \times 1 0 ^{- 7}} = \frac{3 π}{2}$ 。

$sin β = sin \frac{3 π}{2} = - 1$ なので
$\frac{I _{P}}{I _{0}} = \frac{1}{( 3 π /2 ) ^{2}} = \frac{4}{9 π ^{2}}$ 。

検算: 数値で $4/ (9 \times 9.8696) = 0.04503$ 。 $1/ β^{2} = 1/ (4.712)^{2} = 0.04503$ で一致。

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