光学の問題

空気（屈折率 $1$）中に、幅 $a=0.080\text{mm}$ の同じスリットが 2 本、中心間の距離 $d=0.30\text{mm}$ で平行に並んだ二重スリットがある。真空中の波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、十分遠方のスクリーンで像を観察する。スクリーン上には、2 本のスリットからの光の干渉による明線が、1 本のスリットによる回折の強度分布（包絡線）の中に並んで見える。単スリット回折の中央の明るい部分（中心の両側で最初に強度が $0$ になる 2 つの方向の間）の内側に現れる干渉の明線の本数を求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、干渉の明線は 2 本のスリットからの光の光路差が波長の整数倍になる方向に現れるものとする。

空気（屈折率 $1$）中に透過型回折格子を置く。この格子は、幅 $a=0.625\mu \text{m}$ の同じスリットが周期 $d=2.50\mu \text{m}$（$1\text{mm}$ あたり $400$ 本）で平行に並んだものである。格子面に垂直に、真空中の波長 ${\lambda }_1=589.00\text{nm}$ と ${\lambda }_2=589.59\text{nm}$ の 2 つの成分を含む平面波を入射させる。光は格子のうち $N$ 本のスリットを一様に照らしている。回折光は十分遠方で観測する（フラウンホーファー回折）。各スリット内の光の振幅は一様とする。

次数 $m$ の主極大のうち、$\sin \theta <1$ を満たし、しかも両方の波長について強度が $0$ にならないものだけが観測できるとする。観測できる主極大のうち最も大きい次数を使って、この 2 つの波長を分解したい。分解できる条件は、レイリーの基準とする。すなわち、${\lambda }_2$ の $m$ 次の主極大の位置が、${\lambda }_1$ の $m$ 次の主極大に隣り合う長波長側（$\theta$ が大きい側）の最初の暗線の位置と一致するか、それより外側にあるとき、分解できるとする。

このとき、照らされるスリットの本数 $N$ の最小値を整数で求めよ。

等間隔に並んだ $N$ 本の同じ幅のスリットからなる透過型回折格子に、波長 $\lambda$ 付近の 2 つの波長 $\lambda$ と $\lambda +\Delta \lambda$ を含む平面波を格子面に垂直に入射させ、十分遠方（フラウンホーファー回折）でスペクトルを観測する。格子の周期（隣り合うスリットの中心間隔）は $d=4.2\lambda$、各スリットの幅は $a=1.05\lambda$ であり、スリットの開口内では振幅は一様とする。また $\lambda /\Delta \lambda =1200$ とする。

回折角が $90^{\circ }$ 未満で現れる主極大のうち、単スリット回折の強度が $0$ になる方向と重なって消える次数（欠落次数）は使えないものとする。使える次数のうち 2 つの波長を最もよく分解できる次数を用いたとき、レイリーの基準（分解能 $\lambda /\Delta {\lambda }_{\min }=mN$、$m$ は次数）で 2 つの波長が分解できるために必要なスリットの本数 $N$ の最小値を求めよ。ただし、$\Delta \lambda$ は $\lambda$ に比べて十分小さく、どの次数が現れるか・欠落するかの判定は波長 $\lambda$ で行ってよい。

空気（屈折率 $1$）中で、幅 $a=0.200\text{mm}$ の単スリットに、真空中の波長 $\lambda =500\text{nm}$ の単色平面波をスリット面に垂直に入射させ、スリットから $L=2.00\text{m}$ 離れた平行なスクリーンで回折像を観察する。スクリーン上で、像の中心（スリットの中心からスクリーンに下ろした垂線の足）からスリットの幅の方向に $y=7.50\text{mm}$ 離れた点 $\text{P}$ での光の強度を $I_{\text{P}}$、像の中心での強度を $I_0$ とする。比 $\frac{I_{\text{P}}}{I_0}$ を、円周率 $\pi$ を用いた正確な値で求めよ。ただし、フラウンホーファー回折の式が使えるものとし、角度が小さいので $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{y}{L}$ と近似してよい。

空気（屈折率 $1$）中に、2 枚の同じ平面の半透鏡を、反射面が互いに平行になるように間隔 $d$ で向かい合わせて置いた（ファブリー・ペロー干渉計）。各半透鏡の強度反射率は $R=0.80$ で、光の吸収はない（強度透過率は $1-R$）。真空中の波長 $\lambda$ の単色平面波を鏡面に垂直に入射させ、2 枚の鏡の間で何度も反射しながら透過してくるすべての光の重ね合わせとして透過光の強度 $I_t$ を考える。間隔 $d$ を波長程度の範囲でゆっくり変えたとき、$I_t$ の最小値と最大値の比 $\frac{I_{t,\min }}{I_{t,\max }}$ を求めよ。ただし、各鏡での反射・透過で振幅に生じる位相の変化は $d$ によらない一定値であり、光は鏡の間を往復するたびに位相 $\delta =\frac{4\pi d}{\lambda }$（に一定値を加えたもの）だけ遅れるものとする。