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光学の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理光学

空気（屈折率 $1$ ）中に、2 枚の同じ平面の半透鏡を、反射面が互いに平行になるように間隔 $d$ で向かい合わせて置いた（ファブリー・ペロー干渉計）。各半透鏡の強度反射率は $R = 0.80$ で、光の吸収はない（強度透過率は $1 - R$ ）。真空中の波長 $λ$ の単色平面波を鏡面に垂直に入射させ、2 枚の鏡の間で何度も反射しながら透過してくるすべての光の重ね合わせとして透過光の強度 $I_{t}$ を考える。間隔 $d$ を波長程度の範囲でゆっくり変えたとき、 $I_{t}$ の最小値と最大値の比 $\frac{I _{t, m i n}}{I _{t, m a x}}$ を求めよ。ただし、各鏡での反射・透過で振幅に生じる位相の変化は $d$ によらない一定値であり、光は鏡の間を往復するたびに位相 $δ = \frac{4 π d}{λ}$ （に一定値を加えたもの）だけ遅れるものとする。

この問題で使うもの

多光束干渉とファブリー・ペロー干渉計（説明と入口の問題）
無限等比級数と無限級数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（71 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

鏡の間を $k$ 回往復して出てくる光の振幅を書き、すべての $k$ について足し合わせると等比級数になります。

ヒント 2

和は $\frac{E _{0} t ^{2}}{1 - R e ^{i θ}}$ となり、強度は $\frac{I _{0}}{1 + F sin ^{2} ( θ /2 )}$ 、 $F = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$ の形に書けます。

ヒント 3

最大は $sin^{2} (θ /2) = 0$ 、最小は $sin^{2} (θ /2) = 1$ のときです。

答えと解説

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\frac{1}{81}

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解説を読む

多重反射の和

各鏡の振幅反射率を $r$ （ $∣ r ∣^{2} = R$ ）、振幅透過率を $t$ （ $∣ t ∣^{2} = 1 - R$ ）とする。入射光の振幅を $E_{0}$ とすると、1 枚目を透過し、鏡の間を $k$ 回往復してから 2 枚目を透過した光の振幅は
$E_{k} = E_{0} t^{2} (r^{2} e^{i δ^{'}})^{k} (k = 0, 1, 2, \dots)$
である（ $δ^{'}$ は 1 往復あたりの位相の遅れで、 $δ$ に $d$ によらない一定値を加えたもの）。 $r^{2} = R e^{i ϕ_{0}}$ と書き、一定値の位相をまとめて $θ = δ^{'} + ϕ_{0}$ とおくと、等比級数の和より
$E_{t} = k = 0 \sum \infty E_{k} = \frac{E _{0} t ^{2}}{1 - R e ^{i θ}}$
（ $R < 1$ なので級数は収束する）。

透過強度（エアリーの式）

$∣1 - R e^{i θ} ∣^{2} = (1 - R cos θ)^{2} + R^{2} sin^{2} θ = 1 - 2 R cos θ + R^{2} = (1 - R)^{2} + 4 R sin^{2} \frac{θ}{2}$
なので
$I_{t} = I_{0} \frac{( 1 - R ) ^{2}}{( 1 - R ) ^{2} + 4 R sin ^{2} ( θ /2 )} = \frac{I _{0}}{1 + F sin ^{2} ( θ /2 )}, F = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$

最大値と最小値

$d$ を波長程度変えると $θ$ は $2 π$ 以上変わるので、 $sin^{2} (θ /2)$ は $0$ から $1$ までのすべての値をとる。
- 最大： $sin^{2} (θ /2) = 0$ のとき $I_{t, m a x} = I_{0}$
- 最小： $sin^{2} (θ /2) = 1$ のとき $I_{t, m i n} = \frac{I _{0}}{1 + F} = I_{0} \frac{( 1 - R ) ^{2}}{( 1 + R ) ^{2}}$

（ $(1 - R)^{2} + 4 R = (1 + R)^{2}$ を使った。）よって
$\frac{I _{t, m i n}}{I _{t, m a x}} = (\frac{1 - R}{1 + R})^{2} = (\frac{0.20}{1.80})^{2} = (\frac{1}{9})^{2} = \frac{1}{81}$

（参考： $F = \frac{4 \times 0.80}{0.04} = 80$ で、 $1 + F = 81$ と一致する。）

別解

振幅反射率を $r = R$ 、振幅透過率を $t$ （ $∣ t ∣^{2} = 1 - R$ ）とする。透過する光の振幅は、往復ごとに $r^{2} e^{i δ}$ 倍されていく等比級数になる:
$E_{t} = E_{0} t^{2} \sum_{k = 0}^{\infty} (r^{2} e^{i δ})^{k} = \frac{E _{0} t ^{2}}{1 - R e ^{i δ}}$ （一定の位相のずれは $δ$ に含めて考える）。

強度は $I_{t} = I_{0} \frac{( 1 - R ) ^{2}}{∣1 - R e ^{i δ} ∣ ^{2}} = I_{0} \frac{( 1 - R ) ^{2}}{1 - 2 R cos δ + R ^{2}} = I_{0} \frac{( 1 - R ) ^{2}}{( 1 - R ) ^{2} + 4 R sin ^{2} ( δ /2 )}$ （エアリー関数）。

最大: $sin^{2} (δ /2) = 0$ で $I_{t, m a x} = I_{0}$ 。最小: $sin^{2} (δ /2) = 1$ で $I_{t, m i n} = I_{0} \frac{( 1 - R ) ^{2}}{( 1 + R ) ^{2}}$ 。

比は $\frac{I _{t, m i n}}{I _{t, m a x}} = (\frac{1 - R}{1 + R})^{2} = (\frac{0.20}{1.80})^{2} = \frac{1}{81}$ 。

検算: $(1 - R)^{2} = 0.04$ 、 $(1 + R)^{2} = 3.24$ 、 $0.04/3.24 = 1/81 \approx 0.01235$ 。

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