多光束干渉とファブリー・ペロー干渉計

多重反射した光の振幅を無限等比級数で足し合わせ、透過強度 $I_{t} = \frac{I _{0}}{1 + F sin ^{2} ( δ /2 )}$ （ $F = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$ ）や最大・最小の比、フィネスを求められる

前提

2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）

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2 光波の干渉と強度分布（大学物理光学）

説明

反射率の高い 2 枚の平行な鏡（ファブリー・ペロー干渉計）の間では、光が何度も往復し、そのたびに少しずつ外へ漏れ出します。漏れ出た無数の光の振幅を無限等比級数で足し合わせると、透過光の強度が $I_{t} = \frac{I _{0}}{1 + F sin ^{2} ( δ /2 )}$ （ $F = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$ ）と求まります。この式から、透過強度の最大と最小の比や、透過のピークの鋭さを表すフィネスを計算でき、高分解能の分光器やレーザーの共振器を考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

2 枚の鏡は同じで、光の吸収はないとし、鏡の振幅反射率を $r$ 、振幅透過率を $t$ （ここでは正の実数とし、反射・透過による位相の変化は下の $δ$ に含めて考える）、強度反射率を $R = r^{2}$ 、強度透過率を $T = t^{2}$ とします。吸収がないので $R + T = 1$ です。振幅 $A_{0}$ （強度 $I_{0}$ ）の光が入ると、そのまま 2 枚を通り抜ける光の振幅は $t \cdot t A_{0} = T A_{0}$ です。鏡の間を 1 往復してから出る光は、2 回余分に反射して振幅が $r^{2} = R$ 倍になり、往復の光路長の分だけ位相が $δ$ 遅れます（鏡の間隔 $d$ 、屈折率 $n$ 、鏡の間での光線の傾き $θ$ のとき $δ = \frac{2 π}{λ} \cdot 2 n d cos θ$ に反射での位相の変化を加えたもの）。2 往復なら $R^{2}$ 倍で位相 $2 δ$ 、… と続くので、オイラーの公式で位相を $e^{- i δ}$ と表すと、透過光の振幅の合計は公比 $R e^{- i δ}$ （ $∣ R e^{- i δ} ∣ = R < 1$ ）の無限等比級数
$A_{t} = T A_{0} (1 + R e^{- i δ} + R^{2} e^{- 2 i δ} + \dots) = \frac{T A _{0}}{1 - R e ^{- i δ}}$
になります。

強度は振幅の絶対値の 2 乗に比例するので
$∣1 - R e^{- i δ} ∣^{2} = (1 - R cos δ)^{2} + (R sin δ)^{2} = 1 - 2 R cos δ + R^{2} = (1 - R)^{2} + 4 R sin^{2} \frac{δ}{2}$
（半角の公式 $1 - cos δ = 2 sin^{2} \frac{δ}{2}$ を使った）を用いて、 $T = 1 - R$ より
$I_{t} = \frac{T ^{2} I _{0}}{( 1 - R ) ^{2} + 4 R sin ^{2} \frac{δ}{2}} = \frac{I _{0}}{1 + F sin ^{2} \frac{δ}{2}}, F = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$
が得られます。2 光波の干渉では強度が $cos δ$ に沿ってなだらかに変わりましたが、ここでは多数の光が足し合わさるため、 $δ$ が $2 π$ の整数倍からわずかにずれただけで打ち消し合いが急に強くなり、透過のピークが鋭くなります。

$δ = 2 mπ$ （ $m$ は整数）で $sin^{2} \frac{δ}{2} = 0$ となり最大 $I_{m a x} = I_{0}$ （すべて透過）、 $δ = (2 m + 1) π$ で最小 $I_{m i n} = \frac{I _{0}}{1 + F}$ です。したがって $\frac{I _{m a x}}{I _{m i n}} = 1 + F = (\frac{1 + R}{1 - R})^{2}$ です。ピークの鋭さは、強度が最大の半分になる $δ$ の幅（半値全幅）で測ります。 $F sin^{2} \frac{δ}{2} = 1$ を解くと、 $F ≫ 1$ のときピークの近くで $sin \frac{δ}{2} \approx \frac{δ - 2 mπ}{2}$ と近似できて、 $δ - 2 mπ = \pm \frac{2}{F}$ 、半値全幅は $\frac{4}{F}$ です。ピークの間隔 $2 π$ と半値全幅の比をフィネス $F$ といい、 $F = \frac{2 π}{4/ F} = \frac{π F}{2} = \frac{π R}{1 - R}$ となります。

手順

鏡の強度反射率 $R$ から $F = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$ を計算する
隣り合う透過光の位相差 $δ$ を求める。鏡の間隔 $d$ ・屈折率 $n$ ・鏡の間での光線の傾き $θ$ なら $δ = \frac{2 π}{λ} \cdot 2 n d cos θ$ （反射での位相の変化があれば加える）
透過強度を $I_{t} = \frac{I _{0}}{1 + F sin ^{2} ( δ /2 )}$ で求める
最大・最小は $I_{m a x} = I_{0}$ （ $δ = 2 mπ$ ）、 $I_{m i n} = \frac{I _{0}}{1 + F}$ （ $δ = (2 m + 1) π$ ）で、比は $\frac{I _{m a x}}{I _{m i n}} = 1 + F$
ピークの鋭さが必要なら、フィネス $F = \frac{π F}{2} = \frac{π R}{1 - R}$ （ $F ≫ 1$ のとき）を使う

例題

ファブリー・ペロー干渉計の 2 枚の鏡は同じもので、強度反射率は $R = 0.90$ 、光の吸収はないとする。隣り合う透過光の位相差 $δ$ を変えたときの透過強度の最大値 $I_{m a x}$ と最小値 $I_{m i n}$ の比 $\frac{I _{m a x}}{I _{m i n}}$ を求めよ。ただし透過強度は $I_{t} = \frac{I _{0}}{1 + F sin ^{2} ( δ /2 )}$ 、 $F = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$ で与えられるものとする。

例題の解答

手順 1: $F = \frac{4 \times 0.90}{( 1 - 0.90 ) ^{2}} = \frac{3.6}{0.01} = 360$ 。

手順 2・3: 透過強度は $I_{t} = \frac{I _{0}}{1 + 360 sin ^{2} ( δ /2 )}$ で、 $δ$ を変えると $sin^{2} \frac{δ}{2}$ は $0$ から $1$ まで動く。

手順 4: $sin^{2} \frac{δ}{2} = 0$ のとき $I_{m a x} = I_{0}$ 、 $sin^{2} \frac{δ}{2} = 1$ のとき $I_{m i n} = \frac{I _{0}}{1 + 360} = \frac{I _{0}}{361}$ 。よって
$\frac{I _{m a x}}{I _{m i n}} = 1 + F = 361$
（確かめ： $(\frac{1 + R}{1 - R})^{2} = (\frac{1.90}{0.10})^{2} = 1 9^{2} = 361$ ）

答え: $361$

よくある誤り

多重反射した光の強度を足して $I_{t} = T^{2} I_{0} (1 + R^{2} + R^{4} + \dots) = \frac{T ^{2} I _{0}}{1 - R ^{2}}$ としてしまう誤り。多重反射した光は互いにコヒーレントなので、振幅を位相も含めて $\frac{T A _{0}}{1 - R e ^{- i δ}}$ と足してから絶対値を 2 乗する。正しくは $I_{t} = \frac{I _{0}}{1 + F sin ^{2} ( δ /2 )}$
等比級数の公比を振幅反射率 $r$ や $r e^{- i δ}$ としてしまう誤り。1 往復で反射は 2 回なので、正しくは公比は $r^{2} e^{- i δ} = R e^{- i δ}$
$F$ を $\frac{4 R}{1 - R}$ や $\frac{2 R}{( 1 - R ) ^{2}}$ としてしまう誤り。正しくは $∣1 - R e^{- i δ} ∣^{2} = (1 - R)^{2} + 4 R sin^{2} \frac{δ}{2}$ を $(1 - R)^{2}$ でくくって $F = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$ 。 $R = 0.90$ なら $F = 360$
フィネスを $F$ そのもの、または $\frac{π F}{2}$ としてしまう誤り。正しくはピーク間隔 $2 π$ を半値全幅 $\frac{4}{F}$ で割った $F = \frac{π F}{2} = \frac{π R}{1 - R}$ （ $R = 0.90$ なら約 $30$ ）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
平行に向かい合わせた 2 枚の同じ鏡からなるファブリー・ペロー干渉計に、波長 $λ$ の単色の平面波が垂直に入射する。各鏡の（強度）反射率は $R = 0.8$ 、透過率は $T = 1 - R = 0.2$ で、鏡や鏡の間の媒質での吸収はないものとする。鏡の間を 1 往復するときの位相差を $δ$ とすると、入射光の強度を $I_{0}$ として透過光の強度は
$I_{t} = \frac{I _{0}}{1 + F sin ^{2} ( δ /2 )}, F = \frac{4 R}{( 1 - R ) ^{2}}$
で表される。鏡の間隔を少しずつ変えて $δ$ を変化させたとき、透過光の強度の最大値 $I_{m a x}$ と最小値 $I_{m i n}$ の比 $\frac{I _{m a x}}{I _{m i n}}$ を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 4（大学院入試の標準レベル）
空気（屈折率 $1$ ）中に、2 枚の同じ平面の半透鏡を、反射面が互いに平行になるように間隔 $d$ で向かい合わせて置いた（ファブリー・ペロー干渉計）。各半透鏡の強度反射率は $R = 0.80$ で、光の吸収はない（強度透過率は $1 - R$ ）。真空中の波長 $λ$ の単色平面波を鏡面に垂直に入射させ、2 枚の鏡の間で何度も反射しながら透過してくるすべての光の重ね合わせとして透過光の強度 $I_{t}$ を考える。間隔 $d$ を波長程度の範囲でゆっくり変えたとき、 $I_{t}$ の最小値と最大値の比 $\frac{I _{t, m i n}}{I _{t, m a x}}$ を求めよ。ただし、各鏡での反射・透過で振幅に生じる位相の変化は $d$ によらない一定値であり、光は鏡の間を往復するたびに位相 $δ = \frac{4 π d}{λ}$ （に一定値を加えたもの）だけ遅れるものとする。