光学の問題

幅 $a=1.5\mu \text{m}$ のスリットが間隔（隣り合うスリットの中心間の距離）$d=4.5\mu \text{m}$ で $N$ 本（$N\ge 2$）並んだ多スリットに、波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色の平面波が垂直に入射する。十分遠方で観測すると、回折角 $\theta$ の方向の強度は
$$I\propto {\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2{\left(\frac{\sin N\gamma }{\sin \gamma }\right)}^2,\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda },\gamma =\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }$$
で表される。$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ の範囲で、実際に観測される主極大の個数を求めよ。ただし、主極大の位置で単スリットの回折の因子 ${\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$ が $0$ になる次数（欠落次数）は観測されないものとし、それ以外の主極大はすべて観測されるものとする。

幅 $a=3.0\mu \text{m}$ の単スリットに、波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色の平面波が垂直に入射し、十分遠方（フラウンホーファー回折の条件が成り立つ位置）で回折光を観測する。回折角 $\theta$ の方向の強度は
$$I=I_0{\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2,\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$$
で表される（$I_0$ は $\theta =0$ の方向の強度）。$\sin \theta =0.10$ の方向の強度 $I$ と $I_0$ の比 $\frac{I}{I_0}$ を求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な値で答えよ。

空気（屈折率 $1$）中に、2 枚の同じ平面の半透鏡を、反射面が互いに平行になるように間隔 $d$ で向かい合わせて置いた（ファブリー・ペロー干渉計）。各半透鏡の強度反射率は $R=0.80$ で、光の吸収はない（強度透過率は $1-R$）。真空中の波長 $\lambda$ の単色平面波を鏡面に垂直に入射させ、2 枚の鏡の間で何度も反射しながら透過してくるすべての光の重ね合わせとして透過光の強度 $I_t$ を考える。間隔 $d$ を波長程度の範囲でゆっくり変えたとき、$I_t$ の最小値と最大値の比 $\frac{I_{t,\min }}{I_{t,\max }}$ を求めよ。ただし、各鏡での反射・透過で振幅に生じる位相の変化は $d$ によらない一定値であり、光は鏡の間を往復するたびに位相 $\delta =\frac{4\pi d}{\lambda }$（に一定値を加えたもの）だけ遅れるものとする。

屈折率 $n_1=\sqrt{2}$ のガラスの中から、屈折率 $n_2=1$ の空気との平らな境界面に、s 偏光の光が入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{3}$ で入射する。s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
で与えられ（${\theta }_t$ は屈折角）、臨界角を超える入射では屈折の法則 $n_1\sin {\theta }_i=n_2\sin {\theta }_t$ を満たす $\cos {\theta }_t$ を
$$n_2\cos {\theta }_t=i\sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_i-n_2^2}$$
ととる（$i$ は虚数単位）。このとき $r_s=e^{i{\delta }_s}$ と表される。反射による位相の変化 ${\delta }_s$ を $-\pi <{\delta }_s\le \pi$ の範囲で求めよ。

空気（屈折率 $n_1=1$）から屈折率 $n_2=\sqrt{3}$ の平らなガラス面に、自然光（s 偏光と p 偏光が等しい強度で非干渉に重なった光）を入射させる。入射角をブリュースター角 ${\theta }_B$ にしたとき、反射光の強度は入射光の強度の何倍か。ただし、s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
（${\theta }_i$ は入射角、${\theta }_t$ は屈折角）で与えられ、強度反射率は $|r_s{|}^2$ であるとする。ガラスでの吸収と、ガラスの裏面からの反射は考えない。答えは分数で答えよ。