光学の問題

幅 $a=3.0\mu \text{m}$ の単スリットに、波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色の平面波が垂直に入射し、十分遠方（フラウンホーファー回折の条件が成り立つ位置）で回折光を観測する。回折角 $\theta$ の方向の強度は
$$I=I_0{\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2,\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$$
で表される（$I_0$ は $\theta =0$ の方向の強度）。$\sin \theta =0.10$ の方向の強度 $I$ と $I_0$ の比 $\frac{I}{I_0}$ を求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な値で答えよ。

平行に向かい合わせた 2 枚の同じ鏡からなるファブリー・ペロー干渉計に、波長 $\lambda$ の単色の平面波が垂直に入射する。各鏡の（強度）反射率は $R=0.8$、透過率は $T=1-R=0.2$ で、鏡や鏡の間の媒質での吸収はないものとする。鏡の間を 1 往復するときの位相差を $\delta$ とすると、入射光の強度を $I_0$ として透過光の強度は
$$I_t=\frac{I_0}{1+F{\sin }^2(\delta /2)},F=\frac{4R}{(1-R{)}^2}$$
で表される。鏡の間隔を少しずつ変えて $\delta$ を変化させたとき、透過光の強度の最大値 $I_{\max }$ と最小値 $I_{\min }$ の比 $\frac{I_{\max }}{I_{\min }}$ を求めよ。

波長 $\lambda$ の単色光を使ったヤングの実験を考える。光源は、二重スリットから距離 $R$ だけ離れた位置にある幅 $b$ の一様な線光源で、スリットの並ぶ方向に広がっている。光源上の位置を $s$ $\left(-\frac{b}{2}\le s\le \frac{b}{2}\right)$、スクリーン上の位置を $x$、二重スリットの間隔を $d$、二重スリットとスクリーンの距離を $L$ とする。光源上の各点どうしは互いにインコヒーレントであり、位置 $s$ から $s+ds$ の部分だけがつくるスクリーン上の強度は
$$dI=I_0\left[1+\cos \left(\frac{2\pi dx}{L\lambda }+\frac{2\pi ds}{R\lambda }\right)\right]ds$$
で与えられるとする（$I_0$ は正の定数）。光源の幅が $b=\frac{R\lambda }{2d}$ のとき、スクリーン上の干渉縞の可視度 $V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$ を求めよ。答えは正確な値で答えよ。

波長 $600.0\text{nm}$ と $600.2\text{nm}$ の 2 本のスペクトル線を、回折格子の 2 次の回折光（$m=2$）で分けて観測したい。レイリーの基準で 2 本の線が分解されるための条件を
$$\frac{\lambda }{\Delta \lambda }\le mN$$
（$\lambda =600.0\text{nm}$、$\Delta \lambda$ は 2 本の線の波長の差、$N$ は光が当たっている格子の本数）とする。2 本の線を分解するのに必要な格子の本数 $N$ の最小値を求めよ。

屈折率 $n_1=\sqrt{2}$ のガラスの中から、屈折率 $n_2=1$ の空気との平らな境界面に、s 偏光の光が入射角 ${\theta }_i=\frac{\pi }{3}$ で入射する。s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
で与えられ（${\theta }_t$ は屈折角）、臨界角を超える入射では屈折の法則 $n_1\sin {\theta }_i=n_2\sin {\theta }_t$ を満たす $\cos {\theta }_t$ を
$$n_2\cos {\theta }_t=i\sqrt{n_1^2{\sin }^2{\theta }_i-n_2^2}$$
ととる（$i$ は虚数単位）。このとき $r_s=e^{i{\delta }_s}$ と表される。反射による位相の変化 ${\delta }_s$ を $-\pi <{\delta }_s\le \pi$ の範囲で求めよ。