光学の問題

幅 $a=3.0\mu \text{m}$ の単スリットに、波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色の平面波が垂直に入射し、十分遠方（フラウンホーファー回折の条件が成り立つ位置）で回折光を観測する。回折角 $\theta$ の方向の強度は
$$I=I_0{\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2,\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$$
で表される（$I_0$ は $\theta =0$ の方向の強度）。$\sin \theta =0.10$ の方向の強度 $I$ と $I_0$ の比 $\frac{I}{I_0}$ を求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な値で答えよ。

幅 $a=1.5\mu \text{m}$ のスリットが間隔（隣り合うスリットの中心間の距離）$d=4.5\mu \text{m}$ で $N$ 本（$N\ge 2$）並んだ多スリットに、波長 $\lambda =600\text{nm}$ の単色の平面波が垂直に入射する。十分遠方で観測すると、回折角 $\theta$ の方向の強度は
$$I\propto {\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2{\left(\frac{\sin N\gamma }{\sin \gamma }\right)}^2,\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda },\gamma =\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }$$
で表される。$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ の範囲で、実際に観測される主極大の個数を求めよ。ただし、主極大の位置で単スリットの回折の因子 ${\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$ が $0$ になる次数（欠落次数）は観測されないものとし、それ以外の主極大はすべて観測されるものとする。

波長 $\lambda$ の単色光を使ったヤングの実験を考える。光源は、二重スリットから距離 $R$ だけ離れた位置にある幅 $b$ の一様な線光源で、スリットの並ぶ方向に広がっている。光源上の位置を $s$ $\left(-\frac{b}{2}\le s\le \frac{b}{2}\right)$、スクリーン上の位置を $x$、二重スリットの間隔を $d$、二重スリットとスクリーンの距離を $L$ とする。光源上の各点どうしは互いにインコヒーレントであり、位置 $s$ から $s+ds$ の部分だけがつくるスクリーン上の強度は
$$dI=I_0\left[1+\cos \left(\frac{2\pi dx}{L\lambda }+\frac{2\pi ds}{R\lambda }\right)\right]ds$$
で与えられるとする（$I_0$ は正の定数）。光源の幅が $b=\frac{R\lambda }{2d}$ のとき、スクリーン上の干渉縞の可視度 $V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}$ を求めよ。答えは正確な値で答えよ。

平行に向かい合わせた 2 枚の同じ鏡からなるファブリー・ペロー干渉計に、波長 $\lambda$ の単色の平面波が垂直に入射する。各鏡の（強度）反射率は $R=0.8$、透過率は $T=1-R=0.2$ で、鏡や鏡の間の媒質での吸収はないものとする。鏡の間を 1 往復するときの位相差を $\delta$ とすると、入射光の強度を $I_0$ として透過光の強度は
$$I_t=\frac{I_0}{1+F{\sin }^2(\delta /2)},F=\frac{4R}{(1-R{)}^2}$$
で表される。鏡の間隔を少しずつ変えて $\delta$ を変化させたとき、透過光の強度の最大値 $I_{\max }$ と最小値 $I_{\min }$ の比 $\frac{I_{\max }}{I_{\min }}$ を求めよ。

空気（屈折率 $n_1=1$）から屈折率 $n_2=\sqrt{3}$ の平らなガラス面に、自然光（s 偏光と p 偏光が等しい強度で非干渉に重なった光）を入射させる。入射角をブリュースター角 ${\theta }_B$ にしたとき、反射光の強度は入射光の強度の何倍か。ただし、s 偏光の振幅反射率はフレネルの式
$$r_s=\frac{n_1\cos {\theta }_i-n_2\cos {\theta }_t}{n_1\cos {\theta }_i+n_2\cos {\theta }_t}$$
（${\theta }_i$ は入射角、${\theta }_t$ は屈折角）で与えられ、強度反射率は $|r_s{|}^2$ であるとする。ガラスでの吸収と、ガラスの裏面からの反射は考えない。答えは分数で答えよ。